Sucesiones y patrones

Una sucesión es una lista de números en orden que siguen una regla: cada uno se llama término. La pregunta de siempre es «¿qué sigue?». Para contestarla hay que descubrir la regla, y el truco es mirar las diferencias entre vecinos.

Hay tres tipos que te vas a encontrar seguido:

El procedimiento. 1 · Escribe las diferencias debajo de la lista. 2 · Nombra la regla («suma 4», «por 3», «las diferencias suben de 2 en 2»). 3 · Aplícala al último término. 4 · Comprueba que la regla funcione con todos los términos, no solo con los dos primeros.

El que falta en medio. En 5, 9, ?, 17, 21 la diferencia entre los vecinos conocidos es +4 (de 5 a 9, de 17 a 21). El que falta es 9 + 4 = 13. Comprueba: 13 + 4 = 17. ✓ Si solo tienes 5, ?, 13, piensa que de 5 a 13 hay dos saltos: 8 ÷ 2 = 4 cada uno, así que el de en medio es 9.

A veces la sucesión no viene en números sino en dibujos: puntos, palillos, cuadritos. Mira estos cuadrados hechos con palillos:

El procedimiento es convertir los dibujos en números:

1. Cuenta lo que hay en cada una de las primeras figuras: 4, 7, 10, 13.
2. Haz una tabla posición → cantidad.
3. Busca cuánto aumenta cada vez: +3. Tiene sentido: cada cuadrado nuevo necesita solo 3 palillos, porque comparte uno con el anterior.
4. Para una figura lejana, no la dibujes: parte de la primera y da los saltos que hagan falta.

¿Por qué (n − 1)? Porque la figura 1 ya la tienes: para llegar a la figura 10 das 9 saltos. Si multiplicas por 10 te pasas de un salto.

Lo mismo sirve con puntos o fichas: si la figura 1 tiene 5 puntos, la 2 tiene 9 y la 3 tiene 13, aumenta de 4 en 4, y la figura 20 tendrá 5 + 19 × 4 = 81 puntos.

Para saber el término 100 de 4, 7, 10, 13… podrías sumar 3 noventa y nueve veces. Mejor: una fórmula que te dé cualquier término con solo saber su posición. A la posición le llamamos n y a la fórmula, regla general.

Así se encuentra, para 4, 7, 10, 13, …:

1. La diferencia. Suma siempre 3. Entonces la regla empieza con 3n (tres por la posición).
2. El arranque. Prueba con n = 1: 3 × 1 = 3. Pero el primer término es 4. Falta 1: la regla es 3n + 1.
3. Comprueba con n = 2 y n = 3: 3 × 2 + 1 = 7 ✓, 3 × 3 + 1 = 10 ✓.
4. Úsala. Término 50: 3 × 50 + 1 = 151. Término 100: 3 × 100 + 1 = 301.

A estas sucesiones, las que suman siempre lo mismo, se les llama aritméticas. El número que multiplica a n es siempre la diferencia; el arranque puede ser positivo, negativo o cero: 2, 4, 6, 8 → 2n (arranque 0). 1, 3, 5, 7 → 2n − 1 (arranque 1 − 2 = −1).

Si la sucesión baja, la diferencia es negativa: 20, 17, 14, 11 resta 3, así que empieza con −3n. Arranque: 20 − (−3) = 23. Regla: −3n + 23. Comprueba n = 1: −3 + 23 = 20 ✓.

Ahora al revés: te dan la regla y tú escribes la sucesión. Solo hay que sustituir n por 1, luego por 2, por 3…

Fíjate que se empieza en n = 1, no en n = 0: el primer término ocupa la posición 1. Y una regla como n² (curso de Potencias y raíces) da los cuadrados: no suma siempre lo mismo, pero también es una sucesión con regla.

¿Está o no está? La pregunta importante: ¿el 100 es un término de 3n + 1? Si lo es, hay una posición n que lo produce. Eso es una ecuación (curso de Álgebra, ecuaciones de dos pasos):

1. Iguala la regla al número: 3n + 1 = 100.
2. Despeja: 3n = 99, n = 33.
3. Como n = 33 es un entero, sí está: el 100 es el término número 33.

¿Y el 50? 3n + 1 = 50 → 3n = 49 → n = 49 ÷ 3 = 16.33… No es entero: no hay posición 16.33. El 50 no está. (Se ve también en la lista: …, 46, 49, 52: lo brinca.)