El plano cartesiano

Ya sabes usar una recta numérica: con un solo número dices dónde está algo. Pero para decir dónde está tu casa en un mapa, o tu lugar en el cine, un número no alcanza: hacen falta dos. Así que se pegan dos rectas numéricas, una acostada y una parada, y queda el plano cartesiano.

• La recta acostada se llama eje x (o eje horizontal). Hacia la derecha crece, hacia la izquierda hay negativos.
• La recta parada se llama eje y (o eje vertical). Hacia arriba crece, hacia abajo hay negativos.
• Donde se cruzan está el origen, que es el punto (0, 0). Todo se cuenta desde ahí.

Para qué sirve. Para señalar un lugar con dos números y que no haya duda. Es lo mismo que ya usas sin saber el nombre:

Los puntos que caen sobre un eje. Si un punto está parado justo en el eje y, no caminaste nada a los lados: su x es 0. Si está sobre el eje acostado, no subiste nada: su y es 0.

Los dos números de un punto se escriben juntos, entre paréntesis y separados por una coma: (x, y). Eso es un par ordenado, y se llama «ordenado» porque el orden importa: no es lo mismo (2, 5) que (5, 2).

Para poner un punto (te dan los números y tú lo dibujas):

1. Párate en el origen.
2. Camina por el eje acostado lo que diga la x: a la derecha si es positiva, a la izquierda si es negativa.
3. Desde ahí sube o baja lo que diga la y: arriba si es positiva, abajo si es negativa.
4. Marca el punto y escríbele su nombre.

Para leer un punto (lo ves dibujado y tienes que escribir sus números):

1. Baja del punto en línea recta hasta el eje acostado y mira qué número te toca: ésa es la x.
2. Cruza del punto en línea recta hasta el eje parado: ése número es la y.
3. Escríbelos en ese orden, con paréntesis y coma.

Los puntos se nombran con letras mayúsculas para hablar de ellos sin repetir los números: «el punto A(2, 5)» quiere decir que A está en (2, 5).

Los dos ejes parten el plano en cuatro pedazos, y cada pedazo se llama cuadrante. Se numeran con números romanos empezando arriba a la derecha y girando al contrario de las manecillas del reloj.

Lo único que hay que mirar son los dos signos:

Los puntos sobre un eje no están en ningún cuadrante. El (0, 4) está sobre el eje y, en la frontera entre el I y el II; el (−5, 0) está sobre el eje x. Y el origen no está en ninguno: es la esquina de los cuatro.

Por qué sirve. Te avisa si te equivocaste. Si te dan (−8, −2) y tu punto quedó arriba a la derecha, algo salió mal: los dos signos son negativos, así que tenía que quedar abajo a la izquierda.

Si marcas varios puntos y los unes en orden, sale una figura. Y lo bueno es que sus medidas se pueden calcular, sin regla: basta con restar coordenadas.

Las dos distancias fáciles, que son las que se usan todo el tiempo:

• Lado acostado (los dos puntos tienen la misma y): mide la x mayor menos la x menor. De A(1, 1) a B(7, 1): 7 − 1 = 6.
• Lado parado (los dos puntos tienen la misma x): mide la y mayor menos la y menor. De B(7, 1) a C(7, 5): 5 − 1 = 4.

Perímetro y área del rectángulo de arriba. Mide 6 de base y 4 de altura:

Perímetro = 6 + 4 + 6 + 4 = 20
Área      = 6 × 4      = 24

Comprobación con los cuadritos. Si no te fías de la resta, cuenta los cuadritos de la cuadrícula: de A a B hay 6 cuadritos, y adentro de la figura caben 24. Para eso está la cuadrícula.

Y si el lado va en diagonal, como de (1, 1) a (4, 5), no se puede medir restando: eso se saca con el teorema de Pitágoras, que verás más adelante. Aquí todas las figuras tienen lados acostados y parados.

Una tabla de dos columnas ya es una lista de puntos: la primera columna da la x y la segunda la y. Mira el recorrido de Ana en bicicleta:

El procedimiento para pasar una tabla a gráfica:

1. Decide qué va en cada eje. Lo que tú eliges o lo que va pasando solo (el tiempo) va en la x; lo que resulta va en la y.
2. Marca cada renglón como un punto.
3. Únelos en orden, de izquierda a derecha.
4. Escríbele a cada eje qué mide y en qué unidad. Una gráfica sin eso no se entiende.

Para leer una gráfica es al revés: subes del eje x hasta la línea y de ahí cruzas al eje y.

Por qué conviene dibujarla. En la tabla hay que leer diez números y compararlos de a uno. En la gráfica el salto grande, la bajada o la parada se ven sin leer nada.

Las tortillas cuestan $3 cada una. La tabla y la gráfica quedan así:

Fíjate en la última columna: y ÷ x da siempre lo mismo, el 3. Ese número se llama constante de proporcionalidad, y es el precio de una tortilla. La regla se escribe y = 3x.

Las tres preguntas que siempre se hacen:

1. ¿Es proporcional? Divide y entre x en cada renglón. Si siempre da lo mismo, sí.
2. ¿Cuánto vale la constante? Es ese resultado: y ÷ x. También es lo que sube la y cada vez que la x avanza 1.
3. ¿Cuánto vale y para otra x? Multiplica: y = constante × x. Para 10 tortillas, 3 × 10 = $30.

El caso que no es proporcional. Un taxi cobra $12 de banderazo y $5 por kilómetro. A los 0 km ya debes $12, así que la gráfica no arranca en el origen: es una recta, pero empieza más arriba. Y 17 ÷ 1 = 17 mientras que 22 ÷ 2 = 11, que no es lo mismo. No hay proporcionalidad.

El doble y la mitad. En una proporcionalidad, al doble de x le toca el doble de y: 2 tortillas cuestan el doble que 1. En el taxi no: 2 km no cuestan el doble que 1 km, por el banderazo.