Álgebra: las primeras ecuaciones

En álgebra usamos una letra (casi siempre x) para hablar de un número que no conocemos todavía. Como una caja cerrada: sabes que adentro hay un número, pero no cuál.

Con la caja se pueden escribir frases:

Evaluar una expresión es abrir la caja: si x = 4, entonces 2x + 1 = 2 · 4 + 1 = 9. Primero multiplicas, luego sumas (como siempre).

Las letras sirven para escribir fórmulas que funcionan con cualquier número: el perímetro de un cuadrado de lado L es 4L; la edad que tendrás en 10 años, si hoy tienes e, es e + 10.

Una expresión como 3x + 2x + 4 tiene tres términos: 3x, 2x y 4. Los que tienen la misma letra son semejantes y se pueden juntar: 3x + 2x = 5x. Es como contar: tres cajas y dos cajas son cinco cajas.

El 4 no tiene x: es un número solo. No se junta con las x. Así que 3x + 2x + 4 = 5x + 4, y ahí se queda.

Los signos van pegados al término que sigue: en 5x − 2x, el término es «−2x». Para juntar, sumas con signos (curso 6): 5x + (−2x) = 3x.

Una x sola es 1x: x + x = 2x. Y 4x − 4x = 0x = 0: desaparece.

Una ecuación es una igualdad con una caja adentro: x + 3 = 8. Dice: «la caja más 3 pesa lo mismo que 8». Resolverla es averiguar cuánto hay en la caja.

Para dejar la x sola, hay que quitar el 3. Pero si lo quitas solo de la izquierda, la balanza se desequilibra. Así que lo quitas de los dos lados: x + 3 − 3 = 8 − 3, o sea x = 5.

Comprueba siempre: pon tu resultado donde estaba la x. 5 + 3 = 8 ✓. Si no da, algo salió mal.

Se escribe en renglones, uno debajo del otro, con el signo igual alineado. Así se ve cada paso:

x + 3 = 8
x + 3 − 3 = 8 − 3
x = 5

3x = 12. Tres cajas iguales pesan 12. ¿Cuánto pesa una? 12 ÷ 3 = 4. Para deshacer el «por 3» se divide entre 3, en los dos lados.

x/4 = 5. La cuarta parte de la caja pesa 5. La caja completa pesa 4 veces más: 20. Para deshacer el «entre 4» se multiplica por 4, en los dos lados.

Cuidado con los signos: −2x = 10 se divide entre −2 (el número con su signo): x = 10 ÷ (−2) = −5. Compruebo: −2 · (−5) = 10 ✓.

2x + 3 = 11. La x tiene dos cosas encima: está multiplicada por 2 y luego le sumaron 3. Para desvestirla, se quita primero lo último que le pusieron: primero el + 3, luego el × 2. Como quitarte los zapatos antes que los calcetines.

2x + 3 = 11
2x + 3 − 3 = 11 − 3
2x = 8
2x ÷ 2 = 8 ÷ 2
x = 4

Si hay términos semejantes revueltos, primero júntalos (lección 2) y luego sigue los pasos: 3x + 5 + x = 17 → 4x + 5 = 17 → 4x = 12 → x = 3.

5x + 2 = 3x + 10. Hay cajas en los dos platillos. Primero quita cajas de los dos lados hasta que queden solo en uno: resto 3x a los dos lados → 2x + 2 = 10. Ya es una ecuación de dos pasos: 2x = 8, x = 4.

5x + 2 = 3x + 10
5x − 3x + 2 = 10
2x + 2 = 10
2x = 8
x = 4

Problemas con palabras. La ecuación se arma traduciendo frase por frase:

«El doble de un número, más 5, da 17»: 2x + 5 = 17. Resuelves: 2x = 12, x = 6. Y compruebas con la frase: el doble de 6 es 12, más 5 es 17 ✓.