Proporcionalidad y porcentajes

En un grupo hay 3 niñas por cada 5 alumnos. Eso es una razón: una comparación entre dos cantidades. Se puede decir de tres formas y las tres significan lo mismo:

• con palabras: 3 de cada 5;
• con dos puntos: 3:5 (se lee «tres a cinco»);
• como fracción: 35.

La razón no dice cuántos alumnos hay en total. Puede haber 5, o 10, o 50. Si hay 10 alumnos, las niñas son 6: 6:10 es la misma razón que 3:5, porque multiplicaste los dos números por 2. Son razones equivalentes, exactamente como las fracciones equivalentes del curso de Fracciones, lección 3.

«Por cada». Muchas razones se dicen «tanto por cada uno»: un coche recorre 180 km en 2 horas, o sea 90 km por cada hora (su velocidad). Tres kilos de manzana cuestan $96, o sea $32 por cada kilo. Para sacar el «por cada uno» divides: 180 ÷ 2, 96 ÷ 3. Ese número se llama valor unitario y es la llave de todo el curso.

Comparar razones. ¿Qué jugo está más fuerte: 2 vasos de concentrado por 5 de agua, o 3 por 8? Las escribes como fracción y las comparas como aprendiste: 25 = 0.4 y 38 = 0.375. Gana el primero. También sirve ponerlas con el mismo denominador: 1640 contra 1540.

Una paleta cuesta $8. Dos cuestan $16, tres $24, cinco $40. Mira la tabla:

Si compras el doble de paletas pagas el doble; el triple, el triple. Y hay un número escondido: divide cada precio entre su número de paletas y siempre sale 8. Ese 8 es la constante de proporcionalidad: lo que cuesta una, el valor unitario.

Cómo llenar una tabla. 1 · Busca una columna completa y divide para sacar la constante. 2 · Multiplica cada dato de arriba por la constante. Si te dan 4 litros de gasolina → 60 km, la constante es 60 ÷ 4 = 15 km por litro; con 7 litros: 7 × 15 = 105 km.

Cuándo NO es proporcional. La edad y la estatura de una persona: a los 10 años mide 140 cm, pero a los 20 no mide 280. Tampoco lo es un taxi que cobra $30 de banderazo más $10 por km: 1 km → $40, 2 km → $50; el doble de camino no cuesta el doble. Pregúntate siempre: «¿el doble da el doble? ¿la división siempre sale igual?». Si no, no es proporcional y la constante no existe.

«Si 3 kg de manzana cuestan $84, ¿cuánto cuestan 5 kg?». Conoces tres datos y buscas el cuarto. Acomódalos en dos columnas, cada cosa con su unidad, y la incógnita abajo a la derecha:

Método 1 · El valor unitario. Primero sacas cuánto vale uno: 84 ÷ 3 = $28 por kilo. Luego multiplicas por los que quieres: 5 × 28 = $140. Es el método que entiendes mejor y el que menos se equivoca.

Método 2 · Multiplicar en cruz. Multiplicas los dos números que están en diagonal con la x, y divides entre el que queda frente a la x: x = 84 × 5 ÷ 3 = 420 ÷ 3 = 140. Da lo mismo, porque es la misma cuenta en otro orden.

Dónde se usa:

• Recetas. Para 4 personas van 300 g de harina; para 10 personas: 300 × 10 ÷ 4 = 750 g.
• Gasolina. 5 litros rinden 70 km; para 420 km: 5 × 420 ÷ 70 = 30 litros.
• Mapas. 2 cm en el mapa son 50 km reales; 7 cm son 50 × 7 ÷ 2 = 175 km.

Antes de hacer cuentas, revisa que sea proporcional (lección anterior): más kilos, más pesos; más litros, más kilómetros. Y que las unidades de cada columna sean las mismas: no mezcles metros con centímetros.

Por ciento quiere decir «de cada 100». Si el 35 % de la escuela trae lentes, de cada 100 alumnos 35 traen lentes. El porcentaje es una razón con el total fijo en 100: 35 % = 35:100 = 35/100 = 0.35.

Hay porcentajes que tienes que ver de un ojo, sin cuentas:

Y con ésos armas casi todos: 5 % es la mitad del 10 %; 20 % es el doble del 10 %; 75 % es 50 % + 25 %; 15 % es 10 % + 5 %.

Calcular el p % de una cantidad. Tres caminos, los tres dan lo mismo; usa el que más te acomode:

1. Como fracción: 35 % de 240 = 35/100 × 240 = 240 ÷ 100 × 35 = 2.4 × 35 = 84.
2. Como decimal: 35 % = 0.35; 0.35 × 240 = 84.
3. Regla de tres: 100 % → 240, 35 % → x; x = 240 × 35 ÷ 100 = 84.

En la tienda los porcentajes aparecen de dos formas: descuentos («30 % menos») y aumentos («más 16 % de IVA»). En los dos casos el porcentaje se calcula sobre el precio original.

Descuento. Unos tenis de $900 con 30 % de descuento. 1 · Saca el descuento: 30 % de 900 = 270. 2 · Réstalo: 900 − 270 = $630. Atajo: si te quitan 30 %, pagas el 70 %: 0.70 × 900 = 630.

Aumento e IVA. En México casi todo paga el IVA, un impuesto del 16 % que se suma al precio. Una mesa cuesta $1 500 más IVA: 16 % de 1 500 = 240; total 1 500 + 240 = $1 740. Atajo: pagas el 116 %: 1.16 × 1 500 = 1 740.

Encontrar el porcentaje. El pasaje subió de $40 a $50. ¿Qué porcentaje subió? 1 · ¿Cuánto cambió? 50 − 40 = 10. 2 · Divide el cambio entre el original: 10 ÷ 40 = 0.25. 3 · Pásalo a porcentaje: 25 %. Lo mismo si baja: de 50 a 40 bajó 10, y 10 ÷ 50 = 0.20 = 20 % (¡no es 25 %, porque ahora el original es 50!).

Encontrar el total. «El 20 % del grupo son 12 alumnos. ¿Cuántos hay en el grupo?» Si 20 % son 12, el 1 % es 12 ÷ 20 = 0.6, y el 100 % es 0.6 × 100 = 60. Más corto: 12 ÷ 0.20 = 60. Es regla de tres: 20 % → 12, 100 % → x = 12 × 100 ÷ 20.

Ana, Beto y Caro ponen $200, $300 y $500 para un negocio y ganan $600. No sería justo partir en tres iguales: quien puso más debe recibir más. Se reparte en proporción a lo que puso cada quien, o sea según la razón 2:3:5.

1. Suma las partes: 2 + 3 + 5 = 10 partes.
2. Saca cuánto vale una parte: 600 ÷ 10 = $60.
3. Multiplica: Ana 2 × 60 = $120; Beto 3 × 60 = $180; Caro 5 × 60 = $300.
4. Comprueba: 120 + 180 + 300 = 600. ✓

Escala. En un plano aparece «escala 1:100». Es una razón: 1 cm del dibujo son 100 cm de la realidad (1 metro). Si una pared mide 4 cm en el plano, en realidad mide 4 × 100 = 400 cm = 4 m. Para ir de la realidad al dibujo divides: una ventana de 150 cm se dibuja de 150 ÷ 100 = 1.5 cm. En mapas la escala es más grande: 1:50 000 quiere decir que 1 cm son 50 000 cm = 500 m.

Recetas para más gente. Una receta para 4 personas lleva 2 huevos, 300 g de harina y 250 mL de leche. Para 10 personas, saca el factor: 10 ÷ 4 = 2.5, y multiplica todo por él: 5 huevos, 750 g y 625 mL. Es la misma idea de la constante.

La regla de tres funciona, pero cuando no se ve claro qué va arriba y qué va abajo, se equivoca medio grupo. La doble recta numérica arregla eso: se dibujan dos rectas pegadas, una para cada cantidad, y los valores que van juntos quedan uno encima del otro.

«3 kg de tortillas cuestan $60. ¿Cuánto cuestan 7 kg?»

1. Dibujo las dos rectas y pongo lo que sé: arriba el 3, abajo el 60, uno encima del otro.
2. Bajo al 1. Si 3 kg son $60, entonces 1 kg son 60 ÷ 3 = $20. Ese número se llama valor unitario.
3. Subo a lo que me piden. 7 kg son 7 × 20 = $140.

Para qué sirve además de resolver. Para comparar. ¿Qué conviene, 3 kg en $60 o 5 kg en $90? Bajo las dos al 1: $20 por kilo y $18 por kilo. Conviene la segunda. Eso es lo que hacen las etiquetas del supermercado con el «precio por litro».

El método del 1 % para los porcentajes. Es la misma idea, pero la doble recta va de 0 a 100 %:

1. El 100 % es el total. Si el precio es $240, el 100 % son 240.
2. El 1 % es el total ÷ 100: 240 ÷ 100 = 2.4. Nada más se corre el punto dos lugares.
3. Cualquier porcentaje es el 1 % multiplicado: el 15 % son 15 × 2.4 = $36.

Y el método del 10 %, que es el que sirve de cabeza en la tienda: el 10 % se saca corriendo el punto un lugar (de 240 a 24), y de ahí se arma el resto sumando y partiendo:

Con esa tabla se calcula una propina o un descuento en la tienda, sin calculadora y sin equivocarse. Y es exactamente la doble recta, usada de cabeza.