Potencias y raíces

2 × 2 × 2 × 2 × 2 es largo de escribir. Como es el mismo número cinco veces, se abrevia: 2⁵. Se lee «dos a la quinta» y vale 32.

• El número grande es la base: el que se repite (el 2).
• El numerito arriba es el exponente: cuántas veces se multiplica (5).

Cómo se calcula. Para 3⁴: escribe el 3 cuatro veces, 3 × 3 × 3 × 3, y multiplica de dos en dos: 3 × 3 = 9, 9 × 3 = 27, 27 × 3 = 81.

Cómo se lee. Exponente 2: «al cuadrado» (7² es «siete al cuadrado»). Exponente 3: «al cubo» (2³, «dos al cubo»). Del 4 en adelante: «a la cuarta», «a la quinta», «a la sexta»…

Dos casos especiales. Exponente 1: la base aparece una sola vez, así que 7¹ = 7. Exponente 0: cualquier número elevado a 0 vale 1: 7⁰ = 1, 100⁰ = 1. ¿Por qué? Mira la tabla de abajo de arriba hacia abajo al revés: 2³ = 8, 2² = 4, 2¹ = 2; cada vez se divide entre 2, así que el siguiente paso es 2⁰ = 1.

Estas son las potencias de 2, las de las computadoras: cada vez el doble. Conviene sabérselas hasta 2¹⁰.

Un número al cuadrado se llama así porque se puede dibujar como un cuadrado: 4² son 4 filas de 4 puntos, 16 puntos.

Los resultados de elevar al cuadrado se llaman cuadrados perfectos. Conviene sabérselos del 1 al 12: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144. Y unos más: 13² = 169, 15² = 225, 20² = 400.

Un número al cubo se dibuja como un cubo: 3³ son 3 capas, cada una de 3 × 3 cubitos: 27 cubitos.

Para qué sirven. Si un cuadrado mide 7 cm de lado, su área es 7² = 49 cm². Si una caja cúbica tiene 4 cm de arista, le caben 4³ = 64 cm³. Para calcularlo: escribe la potencia, conviértela en multiplicación y multiplica de dos en dos.

Las potencias de 10 son las más fáciles de todas, porque el exponente dice cuántos ceros lleva el número:

Para escribir números grandes. En vez de 7 000 000 se escribe 7 × 10⁶: «siete por diez a la sexta», siete millones. La distancia de la Tierra al Sol, 150 000 000 km, se escribe 1.5 × 10⁸ km. Para hacerlo: pon el punto después de la primera cifra (1.5) y cuenta cuántos lugares lo corriste (8).

Para leer. 4.2 × 10⁵: corre el punto 5 lugares a la derecha, rellenando con ceros: 4.2 → 42 → 420 → 4 200 → 42 000 → 420 000.

Y lo pequeño. Si el exponente es negativo, el punto corre a la izquierda: 10⁻¹ = 0.1 (un décimo), 10⁻² = 0.01 (un centésimo), 10⁻³ = 0.001. Por ahora quédate con la idea: exponente positivo, grande; negativo, chiquito.

Elevar al cuadrado y sacar raíz cuadrada son operaciones contrarias, como sumar y restar. Si 7² = 49, entonces √49 = 7. El símbolo √ se lee «raíz cuadrada de».

Por eso sirve tanto saberse los cuadrados perfectos: son las raíces que salen exactas y hay que saberlas de memoria.

Cuando el número es grande y no te sabes su raíz, se descompone en factores primos (curso de Divisiones, lección de divisibilidad). Para √144:

1. Descompón: 144 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2⁴ × 3².
2. La raíz parte los exponentes a la mitad: 2⁴ → 2², 3² → 3¹.
3. Multiplica lo que queda: 2² × 3 = 4 × 3 = 12.
4. Comprueba: 12 × 12 = 144. ✓

144 | 2
 72 | 2
 36 | 2
 18 | 2
  9 | 3
  3 | 3
  1 |

Otra forma de verlo: agrupa los factores en parejas iguales (2·2)(2·2)(3·3) y de cada pareja sale un solo número: 2 × 2 × 3 = 12. Si algún primo queda sin pareja, la raíz no es exacta (eso lo vemos en la siguiente lección).

Casi ningún número es cuadrado perfecto. ¿Cuánto es √50? Ningún entero por sí mismo da 50. Pero sí se puede saber entre cuáles está:

1. Busca los dos cuadrados perfectos que lo encierran: 49 < 50 < 64.
2. Sus raíces encierran a la tuya: √49 = 7 y √64 = 8, así que √50 está entre 7 y 8.
3. ¿De cuál está más cerca? 50 está pegadito al 49, así que √50 está pegadita al 7: un poquito más de 7.

Afinar a un decimal, por tanteo. Pruebo 7.1² = 7.1 × 7.1 = 50.41: se pasa, pero por muy poquito (0.41). Y 7.0² = 49, se queda corto por 1. El más cercano es 7.1. Si quisiera otro decimal seguiría probando: 7.07² = 49.98… La calculadora dice 7.0710…: nunca termina, por eso redondeamos.

En problemas. Un cuadrado tiene 200 m² de área. ¿Cuánto mide su lado? Lado = √200. 196 < 200 < 225, así que está entre 14 y 15, cerca del 14. Pruebo 14.1² = 198.81 (corto) y 14.2² = 201.64 (se pasa). 200 está más cerca de 198.81, así que el lado mide unos 14.1 m.

Cuando una potencia aparece junto a otras operaciones, hay un orden. Las potencias y las raíces van antes que multiplicar y dividir:

El paréntesis cambia todo. (2 + 3)²: primero el paréntesis, 5, y luego al cuadrado: 25. En cambio 2² + 3² = 4 + 9 = 13. No son iguales: el cuadrado de una suma no es la suma de los cuadrados.

El signo menos. El exponente solo afecta a lo que tiene pegado:

• −3²: el exponente está pegado al 3, no al menos. Es −(3 × 3) = −9.
• (−3)²: el paréntesis mete el signo adentro. Es (−3) × (−3) = 9, porque menos por menos da más.

Potencias de números negativos. Los signos menos se van cancelando de dos en dos (curso de Negativos). Entonces:

Exponente par → resultado positivo. Exponente impar → resultado negativo. El tamaño se calcula como siempre; el signo lo decide el exponente.