Múltiplos, divisores y primos

Los múltiplos de 3 son los resultados de la tabla del 3: 3 × 1 = 3, 3 × 2 = 6, 3 × 3 = 9, 3 × 4 = 12… La tabla del cuaderno se detiene en el 10, pero los múltiplos siguen para siempre: 30, 33, 36… 300… 3 000 000. Nunca se acaban.

En la recta, los múltiplos de 3 son los lugares a donde llegas dando saltos de 3 desde el 0. Los de 4, saltos de 4. Mira dónde caen los dos tipos de salto:

El 12 y el 24 son múltiplos de 3 y también de 4: son múltiplos comunes. Si sigues la recta encontrarás más: 36, 48, 60… también sin fin.

Cómo saber si un número es múltiplo de otro, paso a paso: ① divide; ② si el residuo es 0, sí es múltiplo; si sobra algo, no. Para 2, 3, 5, 9 y 10 ni siquiera divides: usas las reglas de divisibilidad (84 es múltiplo de 3 porque 8 + 4 = 12 y 12 se divide entre 3).

Para hallar los múltiplos de un número solo multiplica: por 1, por 2, por 3… Y para saber cuántos múltiplos de 7 hay hasta 100, divide: 100 ÷ 7 = 14 y sobran 2. Hay 14 (del 7 al 98).

Dos detalles: el 0 es múltiplo de todos (0 × 3 = 0), pero casi nunca lo contamos. Y todo número es múltiplo de sí mismo (3 × 1 = 3) y de 1.

Un divisor de 24 es un número que divide al 24 exacto, sin residuo. El 6 es divisor de 24 (24 ÷ 6 = 4). El 5 no (24 ÷ 5 = 4 y sobran 4).

Múltiplo y divisor son la misma relación vista de los dos lados: si 24 es múltiplo de 6, entonces 6 es divisor de 24. Los múltiplos son infinitos; los divisores son poquitos y se pueden encontrar todos.

El procedimiento, con orden para que no se te escape ninguno:

1. Empieza con el 1: su pareja es el número mismo (1 × 24).
2. Prueba el 2, el 3, el 4… Para cada uno pregunta «¿divide exacto?». Si sí, escribe la pareja: 2 × 12, 3 × 8, 4 × 6.
3. Si no divide (el 5 no divide a 24), lo saltas.
4. Te detienes cuando las parejas se cruzan: después del 4 × 6 seguiría el 6 × 4, que ya está. Listo.

Las reglas de divisibilidad (curso de Divisiones) hacen rápido el «¿divide exacto?»: par → entre 2; cifras suman múltiplo de 3 → entre 3; termina en 0 o 5 → entre 5.

Todo número tiene al menos dos divisores: el 1 y él mismo. Los cuadrados (16, 25, 36) tienen una pareja repetida (4 × 4), que se cuenta una sola vez: los divisores de 16 son 1, 2, 4, 8, 16.

Hay números que no se pueden repartir en grupos iguales más que de uno en uno o todos juntos. El 7 solo se divide entre 1 y entre 7. Son los números primos: tienen exactamente dos divisores.

Los que tienen más divisores son compuestos: 6 (1, 2, 3, 6), 15 (1, 3, 5, 15), 100. Están «compuestos» de primos multiplicados: 6 = 2 × 3, 15 = 3 × 5.

Hace más de dos mil años, Eratóstenes inventó una forma de cazarlos: la criba. Escribes los números hasta donde quieras, tachas el 1, dejas el 2 y tachas todos sus múltiplos (4, 6, 8…); dejas el 3 y tachas sus múltiplos (6, 9, 12…); dejas el 5 y tachas los suyos; lo mismo con el 7. Lo que sobrevive es primo.

Los primos hasta el 50 son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47. Son quince. Conviene reconocerlos de un vistazo.

Cómo probar si un número es primo (hasta el 120): ① ¿es par? → compuesto (salvo el 2). ② ¿sus cifras suman múltiplo de 3? → compuesto. ③ ¿termina en 5? → compuesto. ④ ¿se divide entre 7? → compuesto. ⑤ Si pasó las cuatro pruebas y es menor que 121, es primo. Solo necesitas probar primos cuyo cuadrado no pase del número: 7 × 7 = 49, 11 × 11 = 121.

Los primos son los ladrillos de todos los números: cualquier compuesto se arma multiplicando primos, y siempre con los mismos ladrillos. 12 = 2 × 2 × 3. No hay otra forma de hacer el 12 con primos.

Hay dos formas de encontrarlos. El árbol: partes el número en dos factores cualesquiera y sigues partiendo hasta que todas las puntas sean primos. 12 → 3 × 4 → 4 es 2 × 2 → puntas: 3, 2, 2.

La tabla con rayita, que es más ordenada: escribes el número, una raya vertical, y a la derecha el primo más chico que lo divida. Abajo pones el cociente y repites hasta llegar a 1.

360 | 2
180 | 2
 90 | 2
 45 | 3
 15 | 3
  5 | 5
  1 |

Las potencias solo abrevian: 2 × 2 × 2 se escribe 2³ («dos al cubo», el 3 chiquito dice cuántas veces). 3 × 3 = 3². El 5 aparece una vez y se queda solo.

Paso a paso para 84: ¿par? sí → 84 ÷ 2 = 42. ¿par? sí → 42 ÷ 2 = 21. ¿par? no. ¿entre 3? 2 + 1 = 3, sí → 21 ÷ 3 = 7. El 7 es primo → 7 ÷ 7 = 1. 84 = 2² × 3 × 7.

Para comprobar, multiplica: 4 × 3 × 7 = 84 ✓. Y si un «primo» de tu columna no es primo (pusiste un 4 o un 9), la descomposición está incompleta: el 4 es 2 × 2.

Un camión pasa cada 4 minutos y otro cada 6. Si acaban de pasar juntos, ¿en cuántos minutos vuelven a pasar juntos? El primero pasa en los múltiplos de 4 (4, 8, 12, 16…); el segundo, en los de 6 (6, 12, 18…). Coinciden a los 12 minutos. Ese 12 es el mínimo común múltiplo de 4 y 6: el múltiplo más chico que comparten.

Forma 1, por lista (buena para números chicos): múltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40… múltiplos de 12: 12, 24… El primero que se repite: 24.

Forma 2, por factorización (buena para números grandes): descompones cada número y tomas todos los primos que aparezcan, cada uno con el exponente más alto que tenga.

Tomé el 2 con su mayor exponente (2²) y el 3 con el suyo (3²). Checa con la lista: 12, 24, 36 y 18, 36. ✓

Dos atajos: si un número es múltiplo del otro, el mcm es el grande (mcm de 5 y 15 = 15). Y si no comparten ningún divisor (como 4 y 9), el mcm es su producto: 36.

En el curso de Fracciones, el denominador común para sumar 14 + 16 es justo el mcm de 4 y 6: doceavos.

Tienes 24 lápices y 36 plumas y quieres hacer bolsitas iguales (misma cantidad de lápices en cada una, misma cantidad de plumas), las más grandes posibles, sin que sobre nada. ¿Cuántas bolsitas? Necesitas un número que divida al 24 y al 36, y el más grande: el máximo común divisor.

Forma 1, por lista. Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Divisores de 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. El mayor que está en las dos listas: 12. Doce bolsitas, cada una con 2 lápices y 3 plumas.

Forma 2, por factorización.

El 2 está en los dos: tomo el exponente más chico (2²). El 3 está en los dos: el más chico es 3¹. Si un primo está solo en uno de los números, no entra.

Para simplificar fracciones de un jalón: 2436 → divides arriba y abajo entre el MCD, 12 → 23. Ya quedó irreducible, sin ir paso a paso.

Atajos: si un número es divisor del otro, el MCD es el chico (MCD de 8 y 24 = 8). Si no comparten nada más que el 1 (como 8 y 15), el MCD es 1 y la fracción 815 ya está simplificada.

Fíjate en la pareja: mcm → múltiplo, más grande que los números, exponente grande. MCD → divisor, más chico que los números, exponente chico. En los problemas, «cuándo coinciden» pide mcm; «repartir en partes iguales lo más grandes» pide MCD.