Métodos de cálculo

Para multiplicar 23 × 47 no hace falta la cuenta de siempre. Parte cada número en decenas y unidades (23 es 20 + 3, y 47 es 40 + 7), ponlos en los bordes de una cuadrícula y multiplica cada cruce:

Ahora se suman los cuatro:

 800
 120
 140
+ 21
————
1081

Por qué funciona. Porque la caja es literalmente un área. Un rectángulo de 23 de alto por 47 de largo se puede cortar en cuatro rectángulos: 20 × 40, 3 × 40, 20 × 7 y 3 × 7. Las cuatro piezas juntas son el rectángulo completo, así que sus áreas sumadas dan el área total. No es un truco: es cortar un rectángulo.

Para qué sirve además de multiplicar. Para dos cosas grandes que vienen después:

• Estimar. La casilla más grande (20 × 40 = 800) ya te dice que el resultado va a andar por 800 y algo. Si tu resultado no se parece, hay un error.
• Álgebra. La caja de (x + 3)(x + 5) es exactamente la misma: x², 3x, 5x y 15. Quien aprende la caja con números, en primero de secundaria, ya sabe multiplicar expresiones con letras sin que nadie le enseñe otra regla.

Con números de tres cifras la caja crece: 123 × 45 lleva seis casillas (100, 20 y 3 por 40 y 5). Funciona igual, nada más que hay más pedazos.

Hay una manera de multiplicar que solo usa duplicar, partir a la mitad y sumar. Se le llama multiplicación rusa o del campesino, y es como multiplican las computadoras por dentro.

Para 13 × 19: haz dos columnas. En la izquierda pones el 13 y lo vas partiendo a la mitad (tirando lo que sobra) hasta llegar a 1. En la derecha pones el 19 y lo vas duplicando.

  13  |   19   <- impar: se queda
   6  |   38      par: se tacha
   3  |   76   <- impar: se queda
   1  |  152   <- impar: se queda
      |  ————
      |  247

Por qué funciona. Cada vez que partes la izquierda a la mitad y duplicas la derecha, el producto no cambia: la mitad de uno por el doble del otro es lo mismo. El detalle está en cuando el número de la izquierda es impar: ahí, al partirlo, se tira un «medio», y ese pedacito que se tira hay que recuperarlo apuntando el número de la derecha. Al final se suman todos los pedacitos que se fueron tirando.

Lo que de verdad está pasando es que la columna izquierda escribe el 13 en binario: 13 = 8 + 4 + 1, y los renglones que quedan son justo los que valen 1 × 19, 4 × 19 y 8 × 19. Si ya jugaste Números binarios, es exactamente lo mismo.

El atajo de duplicar sirve solo, sin la tabla entera. Para multiplicar por 8 se duplica tres veces: 17 × 8 es 34, 68, 136. Para multiplicar por 16, cuatro veces. Es la manera más rápida de multiplicar por 2, 4, 8, 16, 32 sin saberse nada.

Ya sabes comprobar una división (cociente × divisor + residuo = dividendo). Para las sumas y las multiplicaciones hay una comprobación más rápida, que se hace de cabeza: la prueba del nueve.

Primero hay que saber sacar la cifra única de un número: se suman sus cifras, y si da más de 9 se vuelve a sumar.

Ejemplo con una multiplicación. ¿Está bien que 347 × 58 = 20 126?

1. Cifra única de 347: 5. Cifra única de 58: 4.
2. Las multiplico: 5 × 4 = 20, y la cifra única de 20 es 2.
3. Cifra única del resultado 20 126: 2 + 0 + 1 + 2 + 6 = 11 → 2.
4. Los dos dieron 2: la cuenta pasa la prueba.

Ejemplo que no pasa. Si alguien dice 347 × 58 = 20 136: la cifra única de 20 136 es 2+0+1+3+6 = 12 → 3, y debía dar 2. Hay un error seguro.

Lo que la prueba no hace. Si pasa, la cuenta probablemente está bien, pero no es seguro: no caza los errores que se equivocan en un múltiplo de 9 ni los dígitos cambiados de lugar (de 20 126 a 20 216 pasa igual). O sea: si no pasa, está mal seguro; si pasa, casi seguro está bien. Y eso ya es muchísimo por diez segundos de trabajo.

Por qué funciona. Porque al dividir cualquier número entre 9, el residuo es justo la suma de sus cifras (también reducida). 10 deja residuo 1 al dividirse entre 9, 100 también, 1 000 también… así que las decenas, centenas y millares «valen 1» para el residuo, y por eso basta sumar las cifras. Y los residuos se respetan al sumar y al multiplicar: ésa es la aritmética del reloj de la lección siguiente.

La prueba del once, de regalo, para cuando quieras cazar dígitos cambiados de lugar: se suman las cifras alternando signo, de derecha a izquierda. Para 2 915: 5 − 1 + 9 − 2 = 11, que es múltiplo de 11, así que 2 915 es múltiplo de 11 (2 915 = 11 × 265). Esa prueba sí nota los cambios de lugar.

Son las 9 y te dicen «nos vemos en 5 horas». No son las 14: son las 2. El reloj llega al 12 y da la vuelta, y sumar así tiene nombre: aritmética del reloj, o aritmética de los residuos.

Cómo se calcula. Suma normal y, si te pasas, resta 12 (o lo que mida tu reloj) hasta caer dentro.

Los días de la semana son un reloj de 7. Hoy es jueves: ¿qué día será en 100 días? 100 ÷ 7 = 14 y sobran 2, así que hay que avanzar solo 2 días desde el jueves: sábado. Las 14 semanas completas no mueven nada.

Dónde más aparece:

• Los criterios de divisibilidad. Un número es múltiplo de 3 si sus cifras suman múltiplo de 3, y de 9 igual: eso es un reloj de 9, y es lo que hace funcionar la prueba del nueve.
• Los códigos secretos. El cifrado César corre cada letra 3 lugares en un reloj de 27 letras: la A se vuelve D, la Z se vuelve C. Es el cifrado más viejo que se conoce.
• Programación. En Python y en PHP se escribe con el signo %: 17 % 12 da 5. Se usa todo el tiempo para preguntar «¿es par?» (n % 2 == 0) y para repartir cosas en turnos.

El reloj de 2 es la paridad. Un número es par si al dividirlo entre 2 el residuo es 0, e impar si es 1. Las reglas de par más par son aritmética del reloj de 2.

Un truco sin explicación se olvida en una semana. Éstos vienen con la razón, que además es lo que de verdad enseña algo.

Truco 1 · por 11, de dos cifras. Separa las dos cifras y pon su suma en medio. 23 × 11: el 2 y el 3 se separan y en medio va 2 + 3 = 5, así que da 253.

  23 × 11
  2 _ 3   <- separo las cifras
  2+3 = 5 <- la suma va en medio
  = 253

Por qué: multiplicar por 11 es multiplicar por 10 y sumar el número otra vez. 23 × 10 = 230, más 23 = 253. Al sumarlos, la cifra de en medio queda siendo 2 + 3. Eso es todo.

Truco 2 · por 9. Multiplica por 10 y resta el número. 47 × 9 = 470 − 47 = 423. Mucho más rápido que la tabla, y no falla nunca. Igual por 99: multiplica por 100 y resta.

Truco 3 · al cuadrado los que acaban en 5. Toma la cifra de las decenas, multiplícala por la siguiente, y pégale un 25. Para 35²: el 3 por el 4 es 12, y pego 25 → 1 225. Para 85²: 8 × 9 = 72, y pego 25 → 7 225.

  35² -> 3 × 4 = 12, pego 25 -> 1225
  65² -> 6 × 7 = 42, pego 25 -> 4225
  95² -> 9 × 10 = 90, pego 25 -> 9025

Por qué: con la caja, 35 × 35 son 30 × 30 + 30 × 5 + 5 × 30 + 25 = 900 + 150 + 150 + 25. Los dos pedazos de en medio son 2 × 30 × 5 = 300, o sea 30 × 10, y juntos con el 900 dan 30 × 40 = 1 200. Siempre sobra el 25 del final.

Truco 4 · cerca de 100. Para 97 × 94: mira cuánto le falta a cada uno para 100 (3 y 6). Resta uno de los dos faltantes al otro número (97 − 6 = 91, o 94 − 3 = 91), y pega el producto de los faltantes (3 × 6 = 18): da 9 118.

Dos más que se usan a diario: para multiplicar por 5, multiplica por 10 y parte a la mitad (34 × 5 = 340 ÷ 2 = 170). Y doblar y partir: 14 × 35 es lo mismo que 7 × 70 = 490, porque lo que le quitas a uno se lo das al otro.

Ya sabes sacar el MCD de dos maneras: listando divisores y factorizando. Las dos se vuelven lentas con números grandes. Hay un método de hace 2 300 años, de Euclides, que lo saca en tres renglones y nunca falla.

El MCD de 252 y 105:

252 ÷ 105 = 2  y sobra  42
105 ÷  42 = 2  y sobra  21
 42 ÷  21 = 2  y sobra   0   <- aquí paro
MCD = 21

Por qué funciona. Si un número divide a 252 y a 105, también divide a su diferencia. Y 42 es lo que sobra de quitarle a 252 dos veces el 105, así que los divisores comunes de 252 y 105 son exactamente los mismos que los de 105 y 42. El problema se hace más chico sin cambiar la respuesta, y así hasta que es obvio.

Para qué sirve de verdad:

• Simplificar fracciones de un jalón. 252/105 se simplifica dividiendo arriba y abajo entre 21: queda 125.
• Cuando no se ve la factorización. El MCD de 1 071 y 462 sale en cuatro renglones; factorizando, tardarías mucho más.
• Programarlo. En Python son tres líneas, y es de los primeros programas que vale la pena escribir:

while b != 0:
    a, b = b, a % b
print(a)

Ese a % b es el residuo de la lección del reloj. Las dos lecciones son la misma idea.

Y de pasada, el mcm. Con el MCD en la mano, el mínimo común múltiplo sale de una multiplicación y una división: mcm = a × b ÷ MCD. Para 252 y 105: 252 × 105 ÷ 21 = 1 260.