El modelo de barras

Hay problemas que se entienden al leerlos y otros que no. Cuando no, casi nadie se equivoca en la cuenta: se equivoca escogiendo la cuenta. El modelo de barras arregla justo eso: primero dibujas, luego calculas.

Las reglas del dibujo son tres y no cambian nunca:

• Una barra es una cantidad. Más grande, más vale. Dos cantidades iguales se dibujan del mismo largo.
• Las partes van pegadas para formar el total. El total se marca con una llave a la derecha.
• Lo que te preguntan se marca con «?», y lo que ya sabes con su número.

Mira el dibujo: el trozo con el «?» es lo que le falta al 45 para llegar a 70. En el dibujo no hay manera de confundirse: es una resta, 70 − 45 = 25.

Los cuatro pasos, siempre los mismos:

1. Lee y dibuja. Una barra por cada quien, del largo que corresponda.
2. Pon los números que sí sabes, cada uno en su trozo.
3. Marca con «?» lo que preguntan. Si preguntan dos cosas, pon dos marcas distintas.
4. Mira el dibujo y haz la cuenta. Luego comprueba que el resultado quepa en el dibujo.

Por qué funciona. Un problema escrito te obliga a imaginar la cantidad; el dibujo la pone enfrente. Y hay otra razón más adelante: esa barra partida es una ecuación, nada más que dibujada. Cuando llegues a álgebra, lo único que vas a cambiar es el «?» por una x.

Hay un solo dibujo para los problemas de sumar y restar: dos partes y un todo. Y hay nada más tres preguntas posibles.

Las palabras que lo delatan. «Entre los dos», «en total», «juntos» piden el todo. «Le quedó», «le faltan», «se fueron», «cuántos más necesita» piden una parte. Pero fíjate en el dibujo y no solo en las palabras: hay problemas que dicen «en total» y preguntan por una parte.

Con tres partes es igual. Si el problema trae tres cantidades, el dibujo lleva tres trozos pegados. La regla no cambia: para el todo, sumas los tres; para el que falta, al total le quitas los que sí sabes.

El otro dibujo que hay que saber es el de comparar. Se usa cuando el problema dice «tiene más que», «tiene menos que» o «¿cuántos más tiene?». Van dos barras, una debajo de la otra y alineadas por la izquierda, para que el pedazo que sobresale se vea.

En el dibujo se ve que la barra de Ana es la de Beto más el pedazo de 15. Así que Ana tiene 40 + 15 = 55. Y si lo que te dieran fuera el de Ana, restarías.

El caso bueno: comparar y además dar el total. «Entre los dos tienen 95 y Ana tiene 15 más que Beto.» Aquí el dibujo hace casi todo:

1. Quito la diferencia del total: 95 − 15 = 80. Eso es lo que queda si Ana no tuviera su ventaja.
2. Lo parto entre las dos barras iguales: 80 ÷ 2 = 40. Ése es Beto.
3. Le devuelvo la diferencia al grande: 40 + 15 = 55. Ésa es Ana.
4. Compruebo las dos cosas: 40 + 55 = 95 ✓ y 55 − 40 = 15 ✓.

Ese «quitar, partir en dos y devolver» resuelve montones de problemas de secundaria, y más adelante es exactamente lo que se hace con una ecuación.

Cuando el problema dice «el doble», «el triple» o «tres veces más», el dibujo se hace con cajitas iguales: la cantidad chica es una cajita y la grande son tantas cajitas como diga.

Si además te dicen el total, el problema se resuelve en tres pasos:

1. Cuenta las cajitas. Beto 1 + Ana 3 = 4 cajitas en total.
2. Averigua cuánto vale una. Divide el total entre las cajitas. Si entre los dos tienen 48: 48 ÷ 4 = 12.
3. Dale a cada uno lo suyo. Beto 1 × 12 = 12; Ana 3 × 12 = 36.

Comprueba siempre las dos condiciones: que sumen el total (12 + 36 = 48 ✓) y que una sea el triple de la otra (36 = 3 × 12 ✓). Si una de las dos falla, el reparto está mal.

Repartos desiguales. «Repartir 60 entre tres hermanos de modo que el segundo reciba el doble que el primero y el tercero el triple que el primero» es el mismo dibujo: 1 + 2 + 3 = 6 cajitas, 60 ÷ 6 = 10 por cajita, y las partes son 10, 20 y 30.

Aquí el modelo brilla. «Me gasté 35 de mi dinero y me quedaron $80. ¿Cuánto tenía?» es un problema que se atora casi siempre… y con el dibujo sale en dos renglones.

La regla del dibujo: el número de abajo dice en cuántos trozos iguales se parte la barra, y el de arriba cuántos de esos trozos se usan.

1. Parto la barra en 5, porque el de abajo es 5.
2. Marco el gasto: 3 trozos. Lo que sobra son 2 trozos, y ésos valen $80.
3. Un trozo: 80 ÷ 2 = $40.
4. El total son 5 trozos: 5 × 40 = $200.

Comprobación obligatoria: si tenía $200, los 35 son 3 × 40 = $120 de gasto, y 200 − 120 = $80 que quedaron. ✓

La otra pregunta típica: «¿cuánto es 35 de 200?». Mismo dibujo al revés: un trozo es 200 ÷ 5 = 40, y 3 trozos son 3 × 40 = 120. Dividir entre el de abajo y multiplicar por el de arriba: eso es sacar la fracción de una cantidad.

Cuando quedan fracciones de lo que queda el dibujo también aguanta: «gasté 12 y luego 14 del total» son 2 trozos de 4 y 1 trozo de 4, así que queda 1 trozo, o sea 14.

Hay problemas que cuentan una historia: pasó esto, luego esto otro, y al final quedó tanto. Se dibuja una barra por cada momento, una debajo de otra, y se ve cómo va cambiando.

«Tenía un dinero. Gasté la mitad en el cine y luego $20 en dulces. Me quedaron $15. ¿Cuánto tenía?»

Al revés, deshaciendo los pasos (el último primero):

1. Al final quedaron $15.
2. Antes de los dulces tenía esos 15 más los 20 que gastó: 15 + 20 = $35. Ése es lo que sobró del cine, o sea media barra.
3. Si media barra son 35, la barra entera es 2 × 35 = $70.

Comprobación hacia adelante, que aquí es obligatoria: tenía 70, la mitad en el cine son 35 y quedan 35; menos 20 de dulces quedan 15. ✓ Si la comprobación falla, casi siempre es que deshiciste un paso con la operación equivocada.

Las operaciones contrarias, para tenerlas a mano: