Cómo resolver problemas

Resolver un problema no es adivinar la cuenta. Hace casi cien años un matemático llamado George Pólya se puso a observar cómo lo hacen los que saben, y encontró que siempre siguen los mismos cuatro pasos.

Cómo se ve el paso 1 por escrito. Para «en una tienda hay 8 cajas con 12 refrescos cada una y se vendieron 30 refrescos, ¿cuántos quedan?»:

• Datos: 8 cajas · 12 refrescos por caja · 30 vendidos.
• Pregunta: cuántos quedan (no cuántos había, no cuántas cajas).
• Con mis palabras: hay que saber cuántos había y quitarle los que se fueron.

El paso 4 no es opcional. Revisar es preguntarse dos cosas: si la cuenta está bien (volver a hacerla al revés) y si la respuesta tiene sentido. Si te preguntan cuántos refrescos quedan y te sale 1 200, algo pasó: no había tantos.

Y una pregunta más, la que hace que aprendas: «¿este problema se parece a otro que ya resolví?». Pólya decía que ahí está casi todo el trabajo: los problemas nuevos casi siempre son problemas viejos con otra ropa.

«No se me ocurre nada» no es un estado permanente: es la señal de que toca usar una jugada. Éstas son las cinco que resuelven casi todo lo de secundaria.

La jugada del caso más chico, en acción. «En una fiesta de 30 personas, todos se dan la mano una vez con cada quien. ¿Cuántos apretones hay?»

Cada persona nueva saluda a todos los que ya estaban, así que la que hace el número 30 agrega 29 apretones. Y se descubre la regla: cada quien saluda a los otros 29, pero cada apretón se cuenta dos veces, así que son 30 × 29 ÷ 2 = 435.

La jugada de la tabla sirve para no perder casos. «¿De cuántas formas pago $20 con monedas de $5 y de $10?» Se ordenan: 0 de diez y 4 de cinco · 1 de diez y 2 de cinco · 2 de diez y 0 de cinco. Son 3 formas, y la tabla garantiza que no se te escapó ninguna.

Elegir la jugada es el paso 2 de Pólya. No hay que acertarle a la primera: si una no avanza, se prueba otra. Lo que no funciona es quedarse mirando el problema.

Hay preguntas que no se contestan calculando, sino mirando si algo es par o impar. Las tres reglas son éstas, y conviene saberlas de memoria:

Por qué. Un número par se puede acomodar en parejas sin que sobre nada; un impar siempre deja uno solo. Si juntas dos impares, los dos que sobraban se emparejan entre ellos: queda par. Eso es todo.

Ejemplo clásico 1. ¿Puedes pagar exactamente $15 con monedas de $2? Cada moneda aporta un número par y par + par siempre es par: con monedas de 2 solo se forman cantidades pares. El 15 es impar, así que no se puede, tengas las monedas que tengas.

Ejemplo clásico 2. La suma de cinco números impares, ¿puede ser 20? Los impares se emparejan: dos impares dan par, otros dos dan par, y queda uno solo, que es impar. Par + par + impar = impar. La suma de cinco impares es siempre impar, así que nunca puede dar 20.

Ejemplo clásico 3 · el tablero. A un tablero de 8 × 8 le quitas dos esquinas opuestas. ¿Se puede cubrir con 31 dominós de dos cuadritos?

Cuenta los colores: cada dominó, donde lo pongas, tapa un cuadrito oscuro y uno claro, siempre. Así que 31 dominós taparían 31 oscuros y 31 claros. Pero las dos esquinas opuestas son del mismo color, así que al tablero le quedan 30 de un color y 32 del otro. Los números no cuadran: es imposible, y ni falta intentarlo.

Eso que no cambia sin importar cómo juegues (aquí, «cada dominó tapa uno de cada color») se llama invariante, y es una de las herramientas más finas que hay.

Es la frase más obvia de las matemáticas: si hay más palomas que palomares, en algún palomar tiene que haber al menos dos palomas.

Cuatro palomas y tres palomares: no importa cómo las acomodes, en alguno van a quedar dos. Lo increíble es lo que se puede afirmar con eso.

Las tres de siempre:

• Los meses. En un salón de 40, dos cumplen años el mismo mes. Hay 12 meses (los casilleros) y 40 alumnos (las palomas): 40 es más que 12. No hay que preguntarle a nadie.
• Los calcetines. En un cajón hay calcetines de 3 colores revueltos y lo saco a oscuras. Con 4 ya tengo dos del mismo color seguro.
• El apretón de manos. En un grupo de 13, dos nacieron el mismo mes; con 25, hay tres del mismo mes (porque 2 × 12 + 1 = 25).

Cómo se usa. Hay que decidir dos cosas, y ahí está todo el trabajo:

1. ¿Quiénes son las palomas? Lo que se reparte: los alumnos, los calcetines, los números.
2. ¿Quiénes son los palomares? Las categorías posibles: los meses, los colores, los residuos.
3. Si las palomas son más que los palomares, ya está: dos van al mismo.

Lo que el principio NO dice. No dice en qué palomar están las dos, ni quiénes son. Dice que existen. Para muchas preguntas eso basta.

Una fina. Si escoges 3 números cualesquiera, dos tienen la misma paridad: los palomares son «par» e «impar», que son 2, y los números son 3. Así se junta el palomar con la lección anterior.

Estimar es sacar un resultado aproximado pero rápido, redondeando los números. No es para entregarlo: es para saber si el resultado exacto tiene sentido.

Cómo se estima un producto: redondea cada número a su cifra más alta y multiplica.

Exacto:      312 × 48
Estimado:    300 × 50 = 15 000
De verdad:   312 × 48 = 14 976

Las tres estimaciones que más sirven:

Órdenes de magnitud. A veces no hace falta ni el primer dígito: basta saber de qué tamaño es la respuesta. ¿La población de México son miles, millones o miles de millones? Millones (unos 130 millones). Equivocarse de orden de magnitud es el error grave; equivocarse en el segundo dígito, casi nunca importa.

Problemas de Fermi. Son preguntas enormes que se contestan a puros estimados, partiéndolas en pedazos. «¿Cuántos litros de agua gasta la escuela en un día?»

1. Unos 300 alumnos.
2. Cada quien va al baño como 3 veces, y cada descarga son unos 6 litros: 18 litros por alumno.
3. 300 × 18 = 5 400 litros, más lo de los lavabos y la limpieza: del orden de 6 000 u 8 000 litros.

El resultado no es exacto y no importa: lo que importa es que ahora sabes que son miles de litros y no cientos. Esa es la pregunta real.

Cómo se escriben los números grandes. 6 000 litros se puede escribir 6 × 10³ litros. Eso es la notación científica, y nació justamente para hablar de órdenes de magnitud sin contar ceros.

«Pensé un número; lo multipliqué por 3, le sumé 5 y me dio 26.» Se puede trabajar al revés, pero hay otro camino que sirve incluso cuando el problema está enredado: suponer un número, ver qué pasa y ajustar. Se llama falsa posición y lo usaban los egipcios hace casi 4 000 años.

1. Supón un número fácil. Digamos 10.
2. Haz lo que dice el problema con ese número: 10 × 3 = 30, más 5 = 35.
3. Compara con lo que debía dar: me dio 35 y debía dar 26, así que me pasé por 9.
4. Ajusta. Cada unidad que baje el número supuesto baja 3 el resultado (porque se multiplica por 3). Para bajar 9 hay que bajar 9 ÷ 3 = 3 unidades: 10 − 3 = 7.
5. Comprueba: 7 × 3 = 21, más 5 = 26. ✓

Para qué sirve si ya existe el álgebra. Por dos razones. La primera es que funciona hoy, sin despejar nada. La segunda es que es el mismo razonamiento que después vas a escribir como ecuación: suponer es poner una x, comparar es igualar, y ajustar es despejar. Quien entiende la falsa posición entiende el álgebra cuando llega.

Un problema de reparto. «Entre tres hermanos se repartieron 60 pesos; el segundo recibió el doble que el primero y el tercero 10 pesos más que el primero. ¿Cuánto recibió el primero?»

1. Supongo que el primero recibió 10. Entonces el segundo 20 y el tercero 20: total 50.
2. Me faltan 60 − 50 = 10.
3. Ajusto: si al primero le subo 1, el segundo sube 2 y el tercero sube 1, o sea que el total sube 4. Para subir 10 necesito 10 ÷ 4 = 2.5.
4. El primero recibió 10 + 2.5 = 12.5. Compruebo: 12.5 + 25 + 22.5 = 60. ✓

Cuándo no sirve. Cuando el número que buscas aparece multiplicándose por sí mismo (como en un área que depende del lado), el ajuste no es proporcional y el método se cae. Para lo de secundaria, casi siempre sirve.