Geometría: ángulos, perímetro, área y volumen

Abre un libro un poquito: las dos tapas forman un ángulo. Las tapas son los lados y el lomo, donde se juntan, es el vértice. Lo que se mide no es lo largo de las tapas, sino qué tanto se abrieron.

Esa abertura se mide en grados (°). Una vuelta completa son 360°. Media vuelta, 180°: los dos lados quedan en línea recta. Un cuarto de vuelta, como la esquina de una hoja, son 90°.

El transportador es la regla de los ángulos. Para usarlo: 1) pon su centro (el agujerito o la crucecita de abajo) justo en el vértice; 2) acomoda la línea del 0 encima de uno de los lados; 3) lee el número donde el otro lado cruza la escala. El transportador tiene dos filas de números: usa la fila que empieza en 0 sobre tu lado.

Según cuánto se abren, los ángulos tienen nombre:

Para estimar sin transportador, pon mentalmente la esquina de una hoja en el vértice, con un borde sobre un lado. ¿El otro lado queda adentro de la esquina? Es agudo; si queda como a la mitad, anda por 45°. ¿Queda afuera, pero sin llegar a la recta? Es obtuso; si está a la mitad entre la esquina y la recta, anda por 135°.

Muchas veces no te dan el ángulo que quieres: te dan el de al lado. Y como los ángulos que están pegados se suman, el que falta sale con una resta.

Complementarios. Dos ángulos que juntos forman un ángulo recto. Suman 90°. Si uno mide 35°, el otro mide 90 − 35 = 55°.

Suplementarios. Dos ángulos que juntos forman una línea recta. Suman 180°. Si uno mide 120°, el otro mide 180 − 120 = 60°.

Opuestos por el vértice. Cuando dos rectas se cruzan se forman cuatro ángulos. Los que quedan enfrente uno del otro (cruzando el vértice) son iguales. Y los que quedan pegados son suplementarios, porque juntos forman una de las rectas.

Alrededor de un punto. Si varios ángulos rodean por completo un punto, dan la vuelta entera: suman 360°.

Un triángulo tiene tres lados y tres ángulos. Por sus lados se llama:

• Equilátero: los tres lados iguales (y los tres ángulos de 60°).
• Isósceles: dos lados iguales (y los dos ángulos de abajo, iguales también).
• Escaleno: los tres lados distintos.

Por sus ángulos: acutángulo si los tres son agudos; rectángulo si tiene un ángulo recto (la esquina de una escuadra); obtusángulo si tiene uno obtuso. Nunca puede tener dos rectos ni dos obtusos, y ahora verás por qué.

El truco de las esquinas. Dibuja un triángulo en papel, arranca las tres esquinas y júntalas con los picos en un mismo punto: forman exactamente una línea recta. Y una línea recta son 180°.

¿Cualquier tres palitos forman un triángulo? No. Con palitos de 3, 4 y 9 cm no se puede: 3 + 4 = 7, y 7 no alcanza a cruzar los 9. Los dos cortos se quedan acostados sobre el largo sin tocarse. Esta es la desigualdad del triángulo: la suma de dos lados siempre tiene que ser mayor que el tercero. Basta revisar que los dos lados más chicos sumen más que el más grande.

Un cuadrilátero es cualquier figura cerrada de cuatro lados. Hay seis con nombre propio, y lo que los distingue es si tienen lados paralelos (que nunca se cruzan, como las vías del tren), lados iguales y ángulos rectos.

Fíjate: el cuadrado cumple todo lo del rectángulo (cuatro ángulos rectos) y todo lo del rombo (cuatro lados iguales). Por eso un cuadrado es un rectángulo y es un rombo: el más completo de todos.

Los ángulos de un cuadrilátero suman 360°. ¿Por qué? Traza una diagonal: la figura se parte en dos triángulos, y cada uno aporta 180°. 180 + 180 = 360. Así, si conoces tres ángulos, el cuarto es 360 menos esos tres.

Polígonos. Cualquier figura cerrada de lados rectos es un polígono, y se nombra por su número de lados: 3 triángulo, 4 cuadrilátero, 5 pentágono, 6 hexágono, 7 heptágono, 8 octágono, 9 eneágono, 10 decágono, 12 dodecágono. Es regular si todos sus lados y todos sus ángulos son iguales (la señal de alto es un octágono regular; un panal está hecho de hexágonos regulares).

Una figura es simétrica si existe una línea por la que se puede doblar y las dos mitades coinciden exactamente. Esa línea se llama eje de simetría.

Cuántos ejes tiene cada figura. Hay que probar doblando: por el centro, por las diagonales, por las esquinas.

Las tres maneras de mover una figura sin deformarla, que en matemáticas se llaman transformaciones:

• Traslación: correrla, sin girarla. Como mover una ficha en el tablero.
• Reflexión: voltearla como en un espejo. Cambia de «mano»: la derecha se vuelve izquierda.
• Rotación: girarla alrededor de un punto, tantos grados. Un giro de 360° la deja igual.

En las tres, la figura no cambia de tamaño ni de forma: lo único que cambia es dónde está y cómo está acomodada. Por eso la figura de antes y la de después son iguales, o congruentes.

Simetría de rotación. Algunas figuras se ven iguales después de girar menos de una vuelta completa. Un cuadrado girado 90° se ve idéntico; un triángulo equilátero, girado 120°. Eso es simetría de rotación, y es lo que hace que los copos de nieve y los rehiletes se vean como se ven.

Teselados. Un teselado es cubrir el plano con copias de una figura, sin huecos y sin que se encimen. Es lo que hacen los mosaicos de Talavera, los pisos de baño y los patrones prehispánicos.

Por qué no cualquier figura tesela. Porque alrededor de cada punto los ángulos tienen que sumar exactamente 360°. Con triángulos equiláteros (60°) se juntan seis; con cuadrados (90°), cuatro; con hexágonos regulares (120°), tres. Con pentágonos regulares (108°) no se puede: tres dan 324° y cuatro dan 432°. Por eso no hay pisos de pentágonos regulares.

Hay trazos que no se hacen midiendo, porque medir siempre tiene error: se hacen con regla y compás, y salen exactos. La idea de las cuatro construcciones básicas es siempre la misma: dos arcos del mismo radio se cruzan en puntos que están a la misma distancia de dos cosas.

1 · La mediatriz (la perpendicular que pasa por el centro de un segmento):

1. Abre el compás más de la mitad del segmento. La abertura exacta no importa, pero no se cambia.
2. Haz un arco desde A y otro, con la misma abertura, desde B.
3. Se cruzan en dos puntos, uno arriba y uno abajo. Únelos con la regla.
4. Esa recta corta al segmento exactamente a la mitad y en ángulo recto.

2 · La bisectriz de un ángulo (la recta que lo parte en dos ángulos iguales):

1. Con el compás en el vértice, haz un arco que cruce los dos lados del ángulo. Salen dos puntos.
2. Desde cada uno de esos puntos, con la misma abertura, haz dos arcos que se cruzen.
3. Une el vértice con ese cruce: ésa es la bisectriz.

3 · Una perpendicular desde un punto de la recta. Con el compás en el punto, marca dos puntos a la misma distancia en la recta, uno de cada lado; luego traza la mediatriz de ese pedacito. Esa mediatriz es la perpendicular que buscabas.

4 · Copiar un ángulo sin transportador: haces un arco en el ángulo original, mides con el compás la «abertura» entre los dos cruces, y repites el mismo arco y la misma abertura en el lugar nuevo.

Para qué sirven de verdad. Para encontrar el centro de una circunferencia (las mediatrices de dos cuerdas se cruzan en el centro), para construir un triángulo con tres medidas dadas, para trazar un ángulo de 60° exacto (el triángulo equilátero se construye solo con compás) y para partir a la mitad sin que el error de la regla se acumule.

La regla del juego. En estas construcciones la regla sirve solo para unir dos puntos, no para medir. Así trabajaban los griegos, y así se demuestra que una construcción es exacta y no aproximada.

Imagina una hormiga que camina por toda la orilla de una figura hasta volver a donde empezó. Lo que caminó es el perímetro. Se mide en unidades de longitud: cm, m, km.

Atajos. En el cuadrado los cuatro lados son iguales: P = 4 × lado. En el rectángulo hay dos bases y dos alturas: P = 2 × base + 2 × altura, o más rápido, P = 2 × (base + altura). En cualquier polígono regular: número de lados × lo que mide uno.

Figuras compuestas (en L, en T, en escalera). Casi siempre faltan números en algunos lados. Se sacan de los otros: en la L de arriba, el lado horizontal de en medio mide 8 − 4 = 4 m, y el vertical de en medio mide 6 − 3 = 3 m. Luego sumas los seis: 8 + 3 + 4 + 3 + 4 + 6 = 28 m. Fíjate que da lo mismo que el rectángulo completo de 8 × 6: 2 × (8 + 6) = 28. Siempre pasa con las L: los lados de adentro «rellenan» los de afuera.

Para qué sirve. Cercar un terreno, poner listón alrededor de un marco, ponerle zoclo a un cuarto, dar vueltas a una pista: todo eso es perímetro. Si la cerca lleva varias hileras de alambre, el perímetro se multiplica por el número de hileras.

El área es cuánta superficie tiene una figura por dentro: cuántos cuadritos de 1 cm de lado caben en ella. Por eso se mide en centímetros cuadrados (cm²), metros cuadrados (m²), etc. El 2 chiquito te recuerda que son cuadritos.

Rectángulo. Cuadricúlalo: si la base mide 5 cm y la altura 3 cm, salen 3 filas de 5 cuadritos: 5 × 3 = 15 cuadritos. No hace falta contarlos uno por uno.

Triángulo. Dibuja un rectángulo y traza una diagonal: queda partido en dos triángulos iguales. Cada triángulo es la mitad del rectángulo. Así que el área del triángulo es base × altura, entre 2.

¿Cuál es la altura? Este es el punto donde más se equivocan. La altura no es el lado inclinado: es la distancia derechita desde el pico hasta la base, formando un ángulo recto con ella (perpendicular). Si el triángulo está inclinado, la altura puede caer adentro o incluso afuera de la figura, pero siempre es perpendicular a la base.

Ninguna de estas fórmulas hay que aprenderla de memoria sin entenderla: cada una es un recorte que convierte la figura en algo que ya sabes medir.

Paralelogramo (romboide). Córtale el triángulo que sobra de un lado y pégalo del otro: queda un rectángulo con la misma base y la misma altura. Área = base × altura. Ojo: la altura es la perpendicular, no el lado inclinado.

Rombo. Sus dos diagonales (la grande D y la chica d) se cruzan en ángulo recto. Si metes el rombo en un rectángulo de D por d, el rombo ocupa justo la mitad. Área = D × d ÷ 2.

Trapecio. Tiene dos bases paralelas: la grande B y la chica b. Si pones dos trapecios iguales, uno volteado junto al otro, forman un paralelogramo de base (B + b) y altura h. Un trapecio es la mitad: Área = (B + b) × h ÷ 2. Dicho de otro modo: el promedio de las bases por la altura.

Polígono regular. Desde el centro, pártelo en triángulos iguales (uno por lado). La altura de cada triángulo se llama apotema: va del centro al punto medio de un lado. Cada triángulo mide lado × apotema ÷ 2, y hay tantos como lados; todos juntos: Área = perímetro × apotema ÷ 2.

Figuras compuestas. Una casa es un rectángulo con un triángulo encima: sumas las dos áreas. Un marco es un rectángulo grande con un rectángulo chico quitado: restas. Siempre: parte la figura en pedazos que sepas medir, y suma o resta.

En un círculo, el centro está a la misma distancia de todos los puntos de la orilla. Esa distancia es el radio (r). Una línea que cruza por el centro de orilla a orilla es el diámetro (d), y mide dos radios: d = 2 × r.

El número π. Toma una lata, rodéala con un hilo y mide el hilo: es el perímetro del círculo (también se llama circunferencia). Ahora mide el diámetro de la lata. El hilo mide un poco más de 3 diámetros: 3.14 diámetros, para ser exactos (y los decimales siguen sin acabar: 3.14159…). Ese número se llama pi y se escribe π. Pasa con todos los círculos, chicos o grandes.

Perímetro. Rueda de 60 cm de diámetro: 3.14 × 60 = 188.4 cm por vuelta. Si te dan el radio, primero lo doblas: radio 10 → diámetro 20 → 3.14 × 20 = 62.8.

Área. La fórmula lleva el radio al cuadrado: r² es r × r (no r × 2). Pizza de 30 cm de diámetro: el radio es 15; 15 × 15 = 225; 3.14 × 225 = 706.5 cm². Si te dan el diámetro, primero sácale la mitad.

Medio círculo. Su área es la del círculo completo entre 2. Pero su contorno es la mitad de la circunferencia más el diámetro (la parte recta también es orilla).

El área contaba cuadritos; el volumen cuenta cubitos: cuántos cubos de 1 cm de lado caben dentro de un cuerpo. Se mide en centímetros cúbicos (cm³), metros cúbicos (m³), etc. El 3 chiquito dice «cubitos».

Mira esta caja de 4 cm de largo, 3 cm de ancho y 2 cm de alto. En el piso caben 4 × 3 = 12 cubitos (eso es el área de la base). Y hay 2 pisos: 12 × 2 = 24 cubitos.

Capacidad. Cuando lo que cabe es un líquido, se habla de litros. La conexión es esta: un cubo de 10 cm de lado tiene 10 × 10 × 10 = 1 000 cm³, y en él cabe exactamente 1 litro.

Para pasar de cm³ a litros, divide entre 1 000. Una pecera de 40 × 25 × 30 cm tiene 30 000 cm³: le caben 30 L. Para pasar de m³ a litros, multiplica por 1 000: una alberca de 48 m³ tiene 48 000 L.

Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma y distinto tamaño: una es la otra en grande. En los triángulos semejantes pasan dos cosas al mismo tiempo:

• Sus ángulos son iguales, uno por uno.
• Sus lados son proporcionales: todos crecen en la misma proporción.

Si un triángulo tiene lados de 3, 4 y 5, y otro de 6, 8 y 10, son semejantes: todos los lados del segundo son el doble. Esa proporción (aquí, 2) se llama razón de semejanza.

El truco de la sombra. Clavas una vara de 1 m en el suelo y mides su sombra: 0.5 m. Al mismo tiempo mides la sombra del árbol: 6 m. Como el sol llega con el mismo ángulo a los dos, los dos triángulos son semejantes, y entonces:

Si altura ÷ sombra es 2, entonces la altura es 2 × 6 = 12 m. Y así se mide un árbol sin subirse.

Las dos maneras de acomodar la cuenta, y las dos sirven:

1. Por el cociente: saco altura ÷ sombra de la vara (2) y multiplico por la sombra del árbol: 2 × 6 = 12.
2. Por la regla de tres: si 0.5 m de sombra son 1 m de alto, 6 m de sombra son 6 × 1 ÷ 0.5 = 12 m.

Qué más se mide igual: la altura de un edificio, el ancho de un río (con triángulos en la orilla), la distancia a un cerro. Y es lo que hace funcionar las escalas de los mapas y los planos: un plano a escala 1:100 es una figura semejante a la casa, con razón de semejanza 100.

Semejante no es igual. Dos figuras congruentes son iguales en todo (razón 1). Dos semejantes tienen la misma forma y otro tamaño. Todos los círculos son semejantes entre sí; todos los cuadrados también. Dos rectángulos, no necesariamente.

En un triángulo rectángulo (el que tiene un ángulo de 90°), los dos lados que forman el ángulo recto se llaman catetos y el de enfrente, que es el más largo, hipotenusa.

Lo que descubrieron hace 2 500 años es esto: si dibujas un cuadrado sobre cada lado, el área del cuadrado grande es exactamente igual a la suma de los dos chicos.

Con el triángulo de 3, 4 y 5: el cuadrado del cateto chico tiene 3 × 3 = 9 cuadritos; el del otro cateto, 4 × 4 = 16; y el de la hipotenusa, 5 × 5 = 25. Y 9 + 16 = 25. No es casualidad: pasa siempre.

Las dos preguntas que se hacen con él:

Los tríos que conviene reconocer de un golpe, porque salen en todos los ejercicios: 3-4-5, 6-8-10, 5-12-13, 8-15-17 y 9-12-15. Los tres primeros son los que más aparecen, y fíjate que 6-8-10 y 9-12-15 son el 3-4-5 crecido: son triángulos semejantes, como en la lección anterior.

Para qué sirve. Para medir cualquier distancia en diagonal, que es justo la que no se puede medir restando coordenadas: la diagonal de una cancha, la escalera recargada en la pared, lo que mide un cable de una esquina a la otra. Y sirve para comprobar si una esquina está a escuadra: si los lados miden 3 y 4 y la diagonal mide 5, el ángulo es recto. Los albañiles lo usan así, con el «triángulo 3-4-5», y seguramente lo has visto sin saber qué era.

Cuidado con el lado largo. La hipotenusa siempre es la más larga de las tres, y siempre está enfrente del ángulo recto. Si tu resultado para la hipotenusa sale más chico que un cateto, hubo un error.