Estadística y probabilidad

La estadística empieza con una pregunta: «¿Cuál es tu fruta favorita?». Se la haces a los 20 de tu salón y apuntas cada respuesta con una rayita. Al final cuentas las rayitas de cada fruta: ese número es su frecuencia (cuántas veces apareció). Todo junto es una tabla de frecuencias:

Siempre suma la columna de frecuencias: debe dar el total de personas que preguntaste (20). Si no da, se te perdió una respuesta.

Gráfica de barras. Para dibujarla: 1) traza dos ejes, uno horizontal (las categorías: las frutas) y uno vertical (la frecuencia); 2) marca la escala del eje vertical empezando en 0, de 1 en 1 o de 2 en 2, hasta pasar el dato más grande; 3) dibuja una barra por categoría, todas del mismo ancho y separadas, tan alta como diga su frecuencia; 4) ponle nombre a cada barra y a cada eje.

Gráfica circular (de pastel). El círculo completo es el total (20 alumnos = 360°). Cada fruta se lleva una rebanada del tamaño de su parte: grados = frecuencia ÷ total × 360. Manzana: 7 ÷ 20 × 360 = 126°. Plátano: 5 ÷ 20 × 360 = 90°. Uva y mango: 4 ÷ 20 × 360 = 72° cada una. Se miden con transportador, una tras otra, y entre todas cierran el círculo (126 + 90 + 72 + 72 = 360). Casi siempre se escribe el porcentaje en cada rebanada: 7 de 20 es 35 %.

Leer una gráfica es contestar preguntas con ella. ¿Cuál es la fruta más popular? La barra más alta: manzana. ¿Cuántos más prefieren manzana que uva? Se restan las alturas: 7 − 4 = 3. ¿Cuántos prefieren uva o mango? Se suman: 4 + 4 = 8. ¿Qué parte del salón prefiere plátano? 5 de 20: 520 = 14 del salón.

Sacaste 8, 6, 10 y 8 en cuatro exámenes. ¿Cómo te fue «en general»? Con un solo número que represente a los cuatro: la media, también llamada promedio.

Qué significa. Imagina las calificaciones como torres de cubos. Al 10 le sobran dos cubos por encima del 8, al 6 le faltan dos. Si el 10 le pasa sus dos cubos al 6, todas las torres quedan a la misma altura: 8. La media es la altura a la que quedan todos cuando se emparejan.

La media no tiene que ser uno de los datos, ni un entero. Las edades 11, 12, 12 y 13 dan (11 + 12 + 12 + 13) ÷ 4 = 48 ÷ 4 = 12. Pero 7, 8 y 8 dan 23 ÷ 3 = 7.66…, y eso está bien: se redondea a 7.7 si te lo piden.

El dato que falta. Llevas 7, 9 y 6 y quieres terminar con promedio 8 en cuatro exámenes. Piensa al revés: para promediar 8 con 4 exámenes necesitas que la suma sea 8 × 4 = 32. Ya llevas 7 + 9 + 6 = 22. Te falta 32 − 22 = 10. Si quisieras promedio 9 necesitarías 36 − 22 = 14, y eso es imposible: no se puede.

La media se deja jalar. En una tienda cinco personas ganan al mes $8 000, $9 000, $10 000, $9 000 y $64 000 (el dueño). Media: 100 000 ÷ 5 = $20 000. Nadie gana cerca de eso: cuatro ganan menos de la mitad. Un solo dato muy grande (o muy chico) jala la media hacia él. Por eso en la siguiente lección verás otro resumen, la mediana, que no se deja jalar.

La media no es el único resumen. Hay otros dos, muy fáciles de sacar:

La mediana es el dato que queda justo en medio cuando los ordenas de menor a mayor. Datos: 3, 7, 2, 9, 7. Ordenados: 2, 3, 7, 7, 9. En medio está el 7: la mediana es 7. La mitad de los datos está abajo de ella y la mitad arriba.

Si son un número par de datos, no hay uno en medio: hay dos. Entonces la mediana es el promedio de esos dos. Datos: 4, 8, 1, 6. Ordenados: 1, 4, 6, 8. Los dos de en medio son 4 y 6; (4 + 6) ÷ 2 = 5. La mediana es 5 aunque ningún dato valga 5.

La moda es el dato que más se repite. En 2, 3, 7, 7, 9 la moda es 7 (aparece dos veces, los demás una). Puede haber dos modas (en 4, 4, 6, 9, 9 son el 4 y el 9) o ninguna (en 1, 2, 3, 4 nadie se repite). La moda es el único resumen que también sirve para cosas que no son números: la moda de «color favorito» puede ser el azul.

Vuelve a los sueldos de la tienda: $8 000, $9 000, $10 000, $9 000 y $64 000. La media era $20 000 (jalada por el dueño). Ordenados: 8 000, 9 000, 9 000, 10 000, 64 000: la mediana es $9 000, y eso sí se parece a lo que gana la gente de ahí. La moda también es $9 000. Por eso cuando lees «el sueldo típico» en una noticia, casi siempre es la mediana.

Dos equipos de cuatro presentaron el mismo examen. Equipo A: 7, 8, 8, 9. Equipo B: 4, 6, 10, 12. Saca la media de cada uno: A → 32 ÷ 4 = 8. B → 32 ÷ 4 = 8. ¡La misma! Pero no son iguales: en el A todos andan cerca del 8; en el B hay quien reprobó y quien sacó 12 (bueno, 10 con puntos extra). La media no cuenta esa diferencia. Para eso está el rango.

Cómo se saca. 1) Encuentra el dato más grande. 2) Encuentra el más chico. 3) Réstalos. No hace falta ordenar todo, solo ubicar los dos extremos. Con temperaturas puede haber negativos: si en la semana la mínima fue −3 °C y la máxima 12 °C, el rango es 12 − (−3) = 15 °C (curso de Negativos, lección 4).

Qué dice el rango: qué tan lejos están los extremos, o sea qué tan dispersos (regados) están los datos. Rango chico → datos parejos, la media los representa bien. Rango grande → datos muy distintos entre sí, y la media sola no cuenta toda la historia.

Qué NO dice: solo mira dos datos, el mayor y el menor. Si un grupo tiene 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 15, el rango es 8 por culpa de un solo dato, aunque casi todos sean 8. Tampoco dice dónde están los datos: un rango de 10 puede ser «de 0 a 10» o «de 90 a 100». Por eso el rango siempre se da junto con la media o la mediana.

Lanzas un dado. No sabes qué va a salir, pero sí sabes qué puede salir: 1, 2, 3, 4, 5 o 6. Eso es un experimento aleatorio (depende del azar) y la lista de todo lo que puede salir es el espacio muestral. Un dado tiene 6 resultados posibles; una moneda, 2 (águila o sol); una ruleta de 8 colores, 8.

Si los resultados tienen todos la misma oportunidad (el dado no está cargado, la moneda no está trucada), la probabilidad de lo que te interesa se calcula contando:

Tres formas de escribir lo mismo. P(águila) = 12 = 0.5 = 50 %. Para pasar de fracción a decimal divides (1 ÷ 2 = 0.5) y para pasar a porcentaje multiplicas por 100. En la ruleta: 38 = 0.375 = 37.5 %. La fracción casi siempre se simplifica: 36 se escribe 12.

De 0 a 1. Si algo es imposible (sacar 7 con un dado) tiene 0 casos favorables: P = 06 = 0. Si es seguro (sacar menos de 7) todos los casos son favorables: P = 66 = 1. Todo lo demás queda entre 0 y 1. Una probabilidad de 1.3 o de 120 % no existe: revisa la cuenta.

Comparar. «Más probable» es la que tiene la fracción más grande. En una bolsa con 5 canicas rojas y 3 azules, P(roja) = 58 y P(azul) = 38: es más probable sacar roja. Fíjate que 58 + 38 = 1: las probabilidades de todo lo que puede pasar suman 1.

Lo contrario (el complemento). ¿Probabilidad de que NO salga 6? Hay 5 caras que no son 6: 56. Más rápido: 1 − 16 = 56. Que no salga azul: 1 − 38 = 58.

La lección pasada contaste casos: eso es la probabilidad clásica. Pero ¿y si no puedes contar? ¿Cuál es la probabilidad de que una tachuela caiga de punta? ¿De que un jugador meta el penal? No hay «casos iguales» que contar. Entonces se hace al revés: experimentas y cuentas.

Por qué se parece a la clásica. Lanza una moneda 10 veces: puede salir águila 3 veces (0.3), muy lejos del 0.5. Con 100 lanzamientos, quizá 48 (0.48). Con 1 000, 503 (0.503). Mientras más intentos, más se acerca la frecuencia a 12. Por eso la clásica y la frecuencial son dos caminos a lo mismo: una calcula lo que debería pasar, la otra mide lo que pasó. Con pocos intentos no confíes en la frecuencia.

Dos dados. Si lanzas dos dados y sumas, ¿es igual de probable sacar 7 que sacar 2? Mucha gente dice que sí. Cuenta los casos: cada dado tiene 6 caras, así que hay 6 × 6 = 36 resultados posibles. Esta tabla los muestra todos con su suma:

La suma 7 sale de 6 formas (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1): P(7) = 636 = 16. La suma 2 sale de una sola (1+1): P(2) = 136. ¡El 7 es seis veces más probable! Si lanzas 36 veces, esperas el 7 unas 6 veces y el 2 una vez.

Juego justo. Un juego es justo cuando todos los jugadores tienen la misma probabilidad de ganar. «Tú ganas si sale 7, yo gano si sale 2» es injusto: 636 contra 136. Para arreglarlo se buscan apuestas con el mismo número de casos: «tú ganas con 7 (6 casos), yo con 2, 3 o 4 (1 + 2 + 3 = 6 casos)» sí es justo. «Suma par contra suma impar» también: 18 casos y 18 casos. «Tú con 7, yo con 6 u 8 (5 + 5 = 10)» no: ahí la ventaja la tengo yo.

Para calcular una probabilidad hace falta saber cuántos casos posibles hay, y contarlos de uno en uno se vuelve imposible rápido. Hay dos herramientas: el diagrama de árbol y el principio multiplicativo.

Tengo 2 playeras (blanca y negra) y 3 pantalones (azul, gris, café). ¿Cuántas combinaciones puedo armar?

Las puntas del árbol son las combinaciones: blanca-azul, blanca-gris, blanca-café, negra-azul, negra-gris, negra-café. Son 6, y 2 × 3 = 6.

Cuándo se multiplica y cuándo se suma, que es la única duda real:

Ejemplos que salen en los exámenes:

• Dos dados. 6 resultados el primero y 6 el segundo: 6 × 6 = 36 casos posibles. De ahí sale que la probabilidad de un 7 sea 636.
• Placas. Tres letras (27 cada una) y tres números (10 cada uno): 27 × 27 × 27 × 10 × 10 × 10 = 19 683 000.
• Menú. 3 sopas, 4 guisados y 2 postres: 3 × 4 × 2 = 24 comidas distintas.
• Volados. Cada volado tiene 2 resultados, así que 4 volados dan 2 × 2 × 2 × 2 = 16 resultados posibles.

Cuando no se puede repetir. Si hay que formar a 3 niños en una fila, el primer lugar lo puede ocupar cualquiera de los 3, el segundo cualquiera de los 2 que quedan, y el último 1: 3 × 2 × 1 = 6 órdenes. Fíjate que el número va bajando, porque el que ya se usó no se puede repetir. Con 4 niños serían 4 × 3 × 2 × 1 = 24.

Para qué sirve en probabilidad. La probabilidad es casos favorables ÷ casos posibles, y esto es lo que te da el de abajo. Sin contar bien los posibles, cualquier probabilidad sale mal.

Las gráficas sirven para que los datos se entiendan de un golpe. Y por eso mismo se usan para engañar: con los mismos números se pueden armar dos gráficas que cuentan historias distintas.

Dos tiendas venden 102 y 108 playeras. Es casi lo mismo, un 6 % de diferencia. Mira las dos gráficas:

En la de la izquierda la segunda barra se ve el doble de alta. Pero los números no cambiaron: lo que cambió es que el eje no empieza en cero. Es el truco más usado del mundo.

Los cinco trucos que hay que saber reconocer:

El promedio también engaña. «El sueldo promedio de la empresa es de $40 000» puede ser cierto y mentiroso al mismo tiempo: si el dueño gana $500 000 y los diez empleados $8 000, la media sale alta y nadie gana eso. La mediana ($8 000) describe mucho mejor. Cuando alguien te da un promedio, pregunta si hay datos que se disparan.

Las tres preguntas para cualquier gráfica que veas en una noticia o en una red social:

1. ¿Qué mide cada eje y en qué unidad? Sin eso, no dice nada.
2. ¿Empieza en cero? Si no, la diferencia está inflada.
3. ¿Quién la hizo y qué quiere que yo crea? No es desconfianza: es lo mismo que revisar una cuenta.

Esto no es para desconfiar de las gráficas: es para poder usarlas. Una gráfica honesta es la mejor manera de entender un montón de datos, y aprender a hacerlas bien empieza por reconocer las que están mal.