Fracciones

Partes un pastel en 4 rebanadas iguales y te comes 3. Te comiste 34 del pastel: «tres cuartos».

• El número de abajo es el denominador: en cuántas partes iguales se partió el entero. Le pone nombre a las partes: cuartos.
• El número de arriba es el numerador: cuántas partes tomaste. Las cuenta.

Una fracción también puede ser parte de un grupo: de 12 canicas, 5 son rojas. Las rojas son 512 de las canicas. Y puede ser parte de una longitud: medio metro es 12 m.

Si tomas todas las partes (44), tienes el entero: 44 = 1. Si tomas 0 partes (04), no tienes nada: 0.

Las fracciones también son números y tienen su lugar en la recta. 12 está justo a la mitad entre 0 y 1. 34 está un poco antes del 1.

Para ubicar una fracción: parte el tramo de 0 a 1 en tantos pedazos iguales como diga el denominador, y avanza tantos pedazos como diga el numerador.

Si el numerador es más grande que el denominador, la fracción pasa del 1. 32 son tres medios: un entero (22) y medio más. Está entre 1 y 2.

Mira estos tres pasteles: distinto número de rebanadas, pero la misma cantidad pintada.

Son fracciones equivalentes: gemelas. Se escriben distinto, valen lo mismo. ¿Cómo se pasa de una a otra? Multiplicando arriba y abajo por el mismo número. 12 → ×2 arriba y abajo → 24 → ×2 → 48. Partes cada rebanada en dos: hay el doble de rebanadas y tomas el doble; la cantidad es la misma.

Simplificar es ir al revés: dividir arriba y abajo por un número que divida a los dos, hasta que ya no se pueda. 1218: los dos se dividen entre 6 → 23. Ya no hay ningún número (además del 1) que divida a 2 y a 3: 23 es la fracción irreducible, la más sencilla.

Si no ves el número grande de un jalón, ve por partes: 1218 → entre 2 → 69 → entre 3 → 23. Llegas igual.

Para saber si dos fracciones son equivalentes sin dibujar: multiplica en cruz. 34 y 912: 3 × 12 = 36 y 4 × 9 = 36. Iguales → son equivalentes.

Hay tres casos:

1. Mismo denominador (las rebanadas son del mismo tamaño): gana la que tiene más rebanadas. 58 > 38.
2. Mismo numerador (la misma cantidad de rebanadas): gana la de rebanadas más grandes, o sea denominador más chico. 23 > 25, porque un tercio es más grande que un quinto.
3. Todo distinto: las conviertes a un denominador común (lección 3: equivalentes) y comparas. O multiplicas en cruz: para 34 contra 57, 3 × 7 = 21 y 4 × 5 = 20. 21 > 20, así que 34 > 57.

Un truco rápido: compara con 12. 49 es menos de la mitad (la mitad de 9 es 4.5); 58 es más de la mitad. Entonces 58 > 49 sin hacer cuentas.

Una fracción es propia si el numerador es menor que el denominador: vale menos que 1 (34). Es impropia si el numerador es mayor o igual: vale 1 o más (74).

Una fracción impropia se puede escribir como número mixto: entero + fracción propia. 74 = 1 ¾ (un entero y tres cuartos), porque 4 cuartos hacen un pastel completo y sobran 3 cuartos.

Para sumar, restar o multiplicar casi siempre conviene pasar los mixtos a impropias primero. Para decir el resultado, al revés: la impropia se pasa a mixto, que se entiende mejor («dos pasteles y medio» y no «cinco medios»).

Si las rebanadas son del mismo tamaño (mismo denominador), sumar es solo contar rebanadas: 2 octavos + 3 octavos = 5 octavos.

El denominador no se suma. 28 + 38 no es 516: si partes en octavos y juntas 5 rebanadas, siguen siendo octavos.

Al final, si se puede, simplifica, y si pasa de 1, escríbelo como mixto: 56 + 46 = 96 = 32 = 1 ½.

12 + 13. Un medio y un tercio son rebanadas de tamaños distintos: no puedes contar «2 rebanadas». Hay que repartirlas en rebanadas iguales para los dos.

Un tamaño que les sirve a los dos: sextos. 12 = 36 y 13 = 26. Ahora sí: 36 + 26 = 56.

¿Cómo encuentro el denominador común? Dos formas:

• El más chico que sirva (mínimo común múltiplo). Escribe los múltiplos de cada denominador y toma el primero que se repita. Para 4 y 6: 4, 8, 12… y 6, 12… → 12.
• Multiplicar los denominadores. Siempre funciona, aunque a veces sale grande. Para 4 y 6: 24. Al final simplificas.

Para convertir: «¿por cuánto multipliqué el denominador? Multiplico el numerador por lo mismo». 34 → doceavos: 4 × 3 = 12, entonces 3 × 3 = 9. 34 = 912.

Con mixtos: primero pásalos a impropias, luego igual.

Multiplicar fracciones es lo más fácil de todo: no hace falta denominador común.

¿Qué significa? 12 × 34 es «la mitad de tres cuartos». Partes los 34 a la mitad: te quedan 38. En el dibujo: partes el pastel en cuartos, pintas 3, y luego cada cuarto lo partes a la mitad (quedan octavos) y tomas la mitad de lo pintado: 3 octavos.

La fracción de un número. «34 de 20» es 34 × 20. Un entero es una fracción con denominador 1: 20 = 201. Entonces 34 × 201 = 604 = 15. O más fácil: divide 20 entre 4 (= 5) y multiplica por 3 (= 15). «De» quiere decir «por».

Simplificar antes de multiplicar ahorra trabajo: en 49 × 38, el 4 y el 8 se dividen entre 4 (quedan 1 y 2), el 3 y el 9 entre 3 (quedan 1 y 3). Queda 13 × 12 = 16. Sin simplificar: 1272, que es lo mismo pero más feo.

34 ÷ 18 pregunta: ¿cuántos octavos caben en 34? Mira el pastel: 34 son 6 octavos. Caben 6.

Para no tener que dibujar siempre, hay una regla que da lo mismo:

¿Por qué funciona? Dividir entre 18 es preguntar cuántos octavos hay, y en cada entero hay 8 octavos: por eso se multiplica por 8. La fracción volteada se llama recíproca: la recíproca de 25 es 52, y la de 4 (= 41) es 14.

Con un entero: 6 ÷ 23 = 61 × 32 = 182 = 9. (En 6 pasteles caben 9 pedazos de dos tercios.) Y 23 ÷ 4 = 23 × 14 = 212 = 16.

Un mismo número se puede escribir de tres formas:

De fracción a decimal: divide arriba entre abajo. 34 = 3 ÷ 4 = 0.75 (con la casita, sacando decimales: curso 4, lección 5).

De decimal a fracción: lee el decimal. 0.75 se lee «setenta y cinco centésimos» = 75/100. Luego simplificas: 75/100 = 34. Un decimal → décimos (0.3 = 310), dos → centésimos, tres → milésimos.

Porcentaje quiere decir «de cada 100». 75 % = 75/100 = 0.75. Para pasar de decimal a porcentaje, corres el punto dos lugares a la derecha (0.75 → 75 %). Para la fracción, conviértela a decimal primero, o busca una equivalente con denominador 100: 34 = 75/100.

Sacar el porcentaje de algo: 20 % de 350 = 0.20 × 350 = 70. O con la fracción: 20 % = 15, y 350 ÷ 5 = 70.