Ejemplos resueltos
Cada uno está resuelto paso a paso, con una línea que explica la idea. Toca el que quieras para abrirlo. Son 26 en total.
26 ejemplos
- ¿Por qué 7/11 no se acaba nunca?
- De 0.8333… a fracción, y de 5/16 a decimal sin dividir
- Ordenar seis números con signo (y el par que engaña)
- Densidad: tres números entre −0.7 y −0.69, y por qué con enteros no se puede
- Por qué menos por menos da más (dos justificaciones)
- Jerarquía paso a paso, y los contraejemplos de la resta
- Dos rectas se cruzan y un ángulo mide 43°
- La mediatriz, paso a paso, y por qué funciona
- ¿Existe un triángulo de 3, 4 y 8 cm? Existencia y unicidad
- Tres tablas: ¿cuál es proporcional?
- Constante negativa: la temperatura y la altura
- −20% y luego +20%
- El problema inverso: quitar el IVA
- Cuadrados con palillos: la misma figura contada de dos maneras
- De una sucesión numérica a su regla general
- Seis enunciados que suenan casi igual
- Perímetros con letra, y por qué 2x + 3x² no se reduce
- 5x − 3 = 2x + 9, con la propiedad anotada en cada renglón
- De un problema a una ecuación, y los dos casos raros
- La circunferencia que pasa por tres puntos (y por qué es única)
- ¿Cuál es la distancia de P a la recta? (medir varias y comparar)
- El área del hexágono sale de seis triángulos
- π es una razón, no un número que se memoriza
- De la encuesta del salón a la gráfica circular
- El sueldo "promedio" que no gana nadie
- Dos dados: por qué el 7 sale más que el 2
¿Por qué 7/11 no se acaba nunca?
7 / 11 = ? 0.6363... ______ 11) 7.0000 70 ÷ 11 = 6 sobra 4 40 ÷ 11 = 3 sobra 7 ← ya salió el 7 70 ÷ 11 = 6 sobra 4 40 ÷ 11 = 3 sobra 7 7/11 = 0.636363... = 0.63 periódico Al revés: x = 0.636363... 100x = 63.636363... 100x − x = 63 (se cancela la cola) 99x = 63 x = 63/99 = 7/11 ✓
En una fraseEl decimal se repite porque el residuo se repite. Al dividir entre 11 solo hay 11 residuos posibles, así que uno tiene que volver a salir, y desde ahí todo se copia.
De 0.8333… a fracción, y de 5/16 a decimal sin dividir
0.8333... = ? x = 0.8333... 10x = 8.333... 100x = 83.333... 100x − 10x = 83.333... − 8.333... 90x = 75 x = 75/90 = 5/6 Comprobación: 5 ÷ 6 = 0.8333... ✓ 5/16 = ? (sin dividir) 16 = 2·2·2·2 = 2⁴ → va a terminar 5 5 · 625 3125 ---- = --------- = ------ = 0.3125 16 16 · 625 10000
En una fraseMultiplicas por 10 y por 100 para que las dos colas infinitas queden idénticas. Al restarlas se borran y queda un número entero.
Ordenar seis números con signo (y el par que engaña)
Ordena de menor a mayor: −3/4 −0.8 −2/3 −0.67 0 1/8 Paso 1: todos a decimal −3/4 = −0.75 −0.8 = −0.8 −2/3 = −0.6666... −0.67 = −0.67 1/8 = 0.125 Paso 2: en la recta −0.8 −0.75 −0.67 −0.667 0 0.125 ──┼─────┼──────┼──────┼─────────┼──────┼──→ −0.8 < −3/4 < −0.67 < −2/3 < 0 < 1/8 El par que engaña: |−0.67| = 0.6700 |−2/3| = 0.6666... 0.67 > 0.6666 → −0.67 está MÁS a la izquierda → −0.67 < −2/3
En una fraseEntre negativos, el que está más lejos del cero es el más chico. Por eso menos 0.67 es menor que menos dos tercios, aunque suene al revés.
Densidad: tres números entre −0.7 y −0.69, y por qué con enteros no se puede
Da tres números entre −0.7 y −0.69 Truco seguro: el punto medio (−0.7 + (−0.69)) / 2 = −1.39/2 = −0.695 Y otra vez, con el nuevo par: (−0.7 + (−0.695)) / 2 = −0.6975 (−0.695 + (−0.69)) / 2 = −0.6925 Nunca se acaba: siempre hay un punto medio. Ahora entre −3 y −2, solo enteros: ... −5 −4 −3 −2 −1 0 ... No hay ningún entero en medio. Conclusión Racionales → densos (siempre hay uno en medio) Enteros → NO densos (hay vecinos pegados)
En una fraseEntre dos decimales siempre cabe otro: su punto medio. Entre dos enteros seguidos no cabe ninguno. Esa es toda la diferencia.
Por qué menos por menos da más (dos justificaciones)
1) Por continuidad del patrón 3 · (−2) = −6 2 · (−2) = −4 sube 2 cada renglón 1 · (−2) = −2 0 · (−2) = 0 (−1)· (−2) = +2 el patrón manda (−2)· (−2) = +4 2) Por la propiedad distributiva Sabemos: (−1) · 0 = 0 Y también: 0 = 1 + (−1) Entonces: 0 = (−1) · (1 + (−1)) 0 = (−1)·1 + (−1)·(−1) 0 = −1 + (−1)·(−1) Para que dé 0, el hueco debe ser +1: (−1)·(−1) = 1
En una frasePrimero multiplicaciones y divisiones, después sumas y restas. Y para tumbar una propiedad basta un solo contraejemplo.
Jerarquía paso a paso, y los contraejemplos de la resta
Calcula: −12 ÷ (−3) + 2 · (−5) − (−4) 1º divisiones y multiplicaciones, de izquierda a derecha −12 ÷ (−3) = 4 2 · (−5) = −10 2º sumas y restas 4 + (−10) − (−4) = 4 − 10 + 4 = −2 ¿La resta es conmutativa? 5 − 3 = 2 3 − 5 = −2 NO cumple ¿La resta es asociativa? (8 − 3) − 2 = 5 − 2 = 3 8 − (3 − 2) = 8 − 1 = 7 NO cumple Ojo con el exponente (esto es de 2°, pero pregúntalo si sale): −3² = −(3·3) = −9 (−3)² = (−3)(−3) = +9
Dos rectas se cruzan y un ángulo mide 43°
Dos rectas se cortan en O. Un ángulo mide 43°. ¿Los otros tres? \ 43° / \ / b \ / a = 43° ────────O──────── / \ / \ c / d \ a y b son adyacentes: forman un ángulo llano (180°) b = 180° − 43° = 137° c = 180° − 43° = 137° d = 180° − 137° = 43° ¿Por qué a = d siempre? a + b = 180° (llano) b + d = 180° (llano) → a = 180° − b y d = 180° − b → a = d Los opuestos por el vértice son iguales. Demostrado.
En una fraseLos ángulos opuestos por el vértice son iguales porque los dos salen de restarle el mismo ángulo a 180°.
La mediatriz, paso a paso, y por qué funciona
Traza la mediatriz de AB 1. Abre el compás MÁS de la mitad de AB. 2. Centro en A: arco arriba y abajo. 3. Mismo radio, centro en B: dos arcos más. 4. Los arcos se cruzan en P y Q. 5. Une P con Q: esa recta es la mediatriz. P | A ───┼─── B | Q ¿Por qué funciona? PA = PB (mismo radio del compás) QA = QB (mismo radio del compás) P y Q están a igual distancia de A y B. → la recta PQ es el conjunto de puntos equidistantes de A y B → corta a AB exactamente a la mitad y en ángulo recto. De paso: el cruce con AB es el punto medio.
En una fraseEl compás garantiza distancias iguales. La recta que une los dos cruces es la de los puntos que están a la misma distancia de A y de B.
¿Existe un triángulo de 3, 4 y 8 cm? Existencia y unicidad
Construye un triángulo de lados 3 cm, 4 cm y 8 cm 1. Traza el lado de 8 cm. 2. Compás en un extremo, radio 3 cm: arco. 3. Compás en el otro, radio 4 cm: arco. 4. Los arcos NO se cruzan. ( 3 4 ) A ─────────────── B 8 cm 3 + 4 = 7 < 8 → imposible Ahora 3, 4 y 6 cm: 3 + 4 = 7 > 6 ✓ 3 + 6 = 9 > 4 ✓ 4 + 6 = 10 > 3 ✓ → los arcos se cruzan: sí existe ¿Y es único? Con los TRES lados dados: sí, uno solo (sale igual aunque lo gires o reflejes). Con los tres ÁNGULOS dados: infinitos (todos con la misma forma, distinto tamaño).
En una fraseSi los dos lados chicos no suman más que el grande, los arcos del compás nunca se cruzan y el triángulo no existe.
Tres tablas: ¿cuál es proporcional?
¿Cuál de las tres es proporcional? TABLA A TABLA B TABLA C x y x y x y 2 6 2 7 2 4 5 15 5 16 5 25 8 24 8 25 8 64 Prueba: divide y entre x A: 6/2=3 15/5=3 24/8=3 constante → PROPORCIONAL, y = 3x B: 7/2=3.5 16/5=3.2 25/8=3.125 no constante → NO proporcional pero sube 3 por cada 1 de x: y = 3x + 1 (lineal, no proporcional) C: 4/2=2 25/5=5 64/8=8 ni lo uno ni lo otro: y = x² La prueba definitiva: ¿qué pasa si x = 0? A: y = 0 ✓ pasa por el origen B: y = 1 ✗ arranca en 1
En una fraseProporcional no es lo mismo que lineal. Proporcional es cuando y entre x siempre da lo mismo, y por eso la gráfica arranca en cero.
Constante negativa: la temperatura y la altura
Por cada kilómetro que subes, la temperatura baja 6 °C. Modela el cambio. h = kilómetros que subes t = cambio de temperatura h | t ----+------ 0 | 0 1 | −6 2 | −12 3 | −18 t/h = −6/1 = −12/2 = −18/3 = −6 constante → es proporcional, con k = −6 t = −6h A 3.5 km: t = −6(3.5) = −21 °C Gráfica: recta que baja, y pasa por (0,0) t 0 ┼──┬──┬──┬──→ h | \ −6┤ \ | \ −12┤ \ | \ −18┤ •
En una fraseSigue siendo proporcional aunque la cantidad baje: lo que importa es que el cociente sea constante, no que sea positivo.
−20% y luego +20%
Un tenis cuesta $500. Le bajan 20%. Al mes le suben 20%. ¿Cuánto cuesta? Casi todos van a decir $500. Veamos. Bajar 20% → queda el 80% → × 0.80 Subir 20% → queda el 120% → × 1.20 500 × 0.80 = 400 400 × 1.20 = 480 ¿Por qué no volvió a 500? 0.80 × 1.20 = 0.96 → el precio final es el 96% del original → se perdió 4% La razón: el 20% que bajó se calculó sobre 500, y el 20% que subió se calculó sobre 400. No son la misma cantidad. Sube 10% y luego otro 10%: 1.10 × 1.10 = 1.21 → 21%, no 20%
En una fraseNo vuelve al precio original porque el 20% que bajó se calculó sobre 500 y el que subió se calculó sobre 400. No son la misma cantidad.
El problema inverso: quitar el IVA
Un artículo cuesta $348 con IVA (16%). ¿Cuánto cuesta sin IVA? Lo que casi todos hacen (mal): 348 × 0.84 = 292.32 ✗ Por qué está mal: el 16% se calculó sobre el precio SIN IVA, no sobre 348. Lo correcto: llamar x al precio sin IVA x + 16% de x = 348 x · 1.16 = 348 x = 348 / 1.16 = 300 Comprobación: 300 × 0.16 = 48 300 + 48 = 348 ✓ Y el error de arriba, comprobado: 292.32 × 1.16 = 339.09 ✗ no da 348
En una fraseNo se le resta 16% al total. El 16% se le sumó al precio sin IVA, así que para regresar hay que dividir entre 1.16.
Cuadrados con palillos: la misma figura contada de dos maneras
Cuadrados pegados en fila. ¿Cuántos palillos para n cuadrados? Fig 1 Fig 2 Fig 3 ┌─┐ ┌─┬─┐ ┌─┬─┬─┐ └─┘ └─┴─┘ └─┴─┴─┘ 4 7 10 MANERA 1: el primero y los que siguen El primer cuadrado usa 4. Cada cuadrado nuevo agrega 3. 4 + 3(n − 1) = 4 + 3n − 3 = 3n + 1 MANERA 2: por columnas Cada cuadrado aporta 3 palillos (arriba, abajo, y el vertical izquierdo) y al final sobra 1 vertical: 3n + 1 Comprobación n=1 → 4 ✓ n=2 → 7 ✓ n=3 → 10 ✓ n=50 → 3(50)+1 = 151
En una fraseDos maneras de contar la misma figura dan dos expresiones distintas que valen lo mismo. Eso es equivalencia algebraica, con palillos.
De una sucesión numérica a su regla general
7, 11, 15, 19, 23, ... Encuentra la regla y el término 50. Paso 1: la diferencia 7 → 11 → 15 → 19 → 23 +4 +4 +4 +4 d = 4 (progresión aritmética) Paso 2: la fórmula aₙ = a₁ + (n − 1)d aₙ = 7 + (n − 1)(4) aₙ = 7 + 4n − 4 aₙ = 4n + 3 Paso 3: comprobar SIEMPRE con n = 1 4(1) + 3 = 7 ✓ Paso 4: lo que pedían a₅₀ = 4(50) + 3 = 203 Atajo para hallar el "+3": la tabla de multiplicar del 4 es 4, 8, 12, 16... y la sucesión es 7, 11, 15, 19... → siempre 3 más.
En una fraseLa diferencia común es la tabla de multiplicar que va por debajo. El número que se suma o se resta al final es solo el ajuste.
Seis enunciados que suenan casi igual
Traduce al lenguaje algebraico (n = un número cualquiera) el doble de un número .............. 2n un número aumentado en 2 .......... n + 2 el doble de un número, más uno .... 2n + 1 el doble del siguiente ............ 2(n + 1) la mitad de un número ............. n / 2 dos menos que un número ........... n − 2 Los dos que se confunden siempre: "el doble de un número más uno" 2n + 1 ¿o? 2(n + 1) Con n = 5: 2(5) + 1 = 11 2(5 + 1) = 12 no son lo mismo Y al revés — traduce a español: 3(n − 4) → el triple de un número disminuido en 4 3n − 4 → el triple de un número, menos 4
En una fraseEl paréntesis es la puntuación del álgebra: es lo único que distingue 2n+1 de 2(n+1). Ante la duda, evalúa con un número.
Perímetros con letra, y por qué 2x + 3x² no se reduce
Perímetro de un rectángulo de base x + 3 y altura x x + 3 ┌─────────┐ x │ │ x └─────────┘ x + 3 P = (x+3) + x + (x+3) + x P = x + 3 + x + 3 + x + x P = 4x + 6 Comprobación con x = 5: base = 8, altura = 5 P = 8 + 5 + 8 + 5 = 26 4(5) + 6 = 26 ✓ ¿Se puede reducir 2x + 3x² ? Alguien va a escribir 5x³ o 5x². Comprobémoslo con x = 2: 2x + 3x² = 2(2) + 3(4) = 4 + 12 = 16 5x² = 5(4) = 20 ✗ 5x³ = 5(8) = 40 ✗ No son lo mismo: no se reduce.
En una fraseSustituir un número y comprobar es la manera de saber si una manipulación algebraica es válida. Es su mejor defensa contra el álgebra inventada.
5x − 3 = 2x + 9, con la propiedad anotada en cada renglón
Resuelve 5x − 3 = 2x + 9 5x − 3 = 2x + 9 resto 2x en los DOS lados 5x − 3 − 2x = 2x + 9 − 2x 3x − 3 = 9 sumo 3 en los DOS lados 3x − 3 + 3 = 9 + 3 3x = 12 divido entre 3 los DOS lados 3x/3 = 12/3 x = 4 Verificación (obligatoria): izquierda: 5(4) − 3 = 20 − 3 = 17 derecha: 2(4) + 9 = 8 + 9 = 17 ✓ La balanza Una ecuación es una balanza en equilibrio. Lo que le quitas a un platillo se lo quitas al otro, o se cae. Nada "pasa" de lado: se quita de los dos.
En una fraseNo se pasa nada de lado: se hace la misma operación en los dos miembros, como en una balanza. Los renglones intermedios son el contenido.
De un problema a una ecuación, y los dos casos raros
"Pienso un número, lo multiplico por 4 y le resto 7. Obtengo lo mismo que si al número le sumara 5. ¿Qué número pensé?" Traducción, frase por frase: el número .................... x lo multiplico por 4 .......... 4x le resto 7 ................... 4x − 7 "obtengo lo mismo que" ....... = al número le sumo 5 .......... x + 5 4x − 7 = x + 5 4x − 7 − x = x + 5 − x 3x − 7 = 5 3x = 12 x = 4 Verificación: 4(4) − 7 = 9 ; 4 + 5 = 9 ✓ Los dos casos que van a aparecer 2x + 3 = 2x + 5 2x + 3 − 2x = 2x + 5 − 2x 3 = 5 falso → NO tiene solución 2(x + 1) = 2x + 2 2x + 2 = 2x + 2 0 = 0 siempre cierto → infinitas
En una fraseTraduce frase por frase antes de resolver. Y si al final queda 3 = 5, no es un error: la ecuación no tiene solución.
La circunferencia que pasa por tres puntos (y por qué es única)
Dados tres puntos A, B, C no alineados, traza la circunferencia que pasa por los tres. 1. Traza la mediatriz de AB. 2. Traza la mediatriz de BC. 3. Se cruzan en un punto: llámalo O. 4. Abre el compás de O a A y traza. Pasa por B y por C también. A / \ / \ B─────C O = cruce de mediatrices ¿Por qué funciona? O está en la mediatriz de AB → OA = OB O está en la mediatriz de BC → OB = OC → OA = OB = OC Las tres distancias son iguales: son el radio. O es el centro. ¿Por qué es la ÚNICA? Cualquier centro tendría que estar en las dos mediatrices a la vez. Dos rectas no paralelas se cortan en UN solo punto. → hay un solo centro → una sola circunferencia. Con solo DOS puntos: infinitas (todo el eje de la mediatriz sirve de centro).
¿Cuál es la distancia de P a la recta? (medir varias y comparar)
Mide la distancia del punto P a la recta r. P /|\ \ / | \ \ / | \ \ ───┴───┴───┴────┴─── r 4.8 4.2 4.5 5.6 (cm medidos) ↑ la perpendicular Todas son "distancias de P a r", pero la PERPENDICULAR es la menor. Esa es LA distancia. distancia(P, r) = 4.2 cm Distancia entre dos paralelas ─────────────────── r │ 3 cm │ 3 cm ─────────────────── s Mide la perpendicular en dos lugares distintos: da lo mismo. Por eso las paralelas tienen UNA distancia, y por eso son paralelas. Desigualdad del triángulo De A a C directo ...... 7 cm De A a B y luego a C .. 4 + 5 = 9 cm Ir derecho siempre es más corto: AB + BC > AC
En una fraseDe todos los caminos de un punto a una recta, el perpendicular es el más corto. Ese, y solo ese, es la distancia.
El área del hexágono sale de seis triángulos
Hexágono regular, lado 6 cm, apotema 5.2 cm. Perímetro y área. ___ /\ /\ Se parte en 6 triángulos /__\/__\ iguales, todos con: \ /\ / base = lado = 6 \/__\/ altura = apotema = 5.2 Perímetro P = 6 × 6 = 36 cm Área, contando triángulos un triángulo = (6 × 5.2) / 2 = 15.6 seis triángulos = 6 × 15.6 = 93.6 cm² La fórmula sale de ahí sola: A = 6 · (lado × apotema / 2) A = (6 · lado) × apotema / 2 A = P × a / 2 Y funciona para cualquier polígono regular: pentágono → 5 triángulos, octágono → 8. La fórmula no cambia.
En una fraseEl polígono regular se parte en triángulos iguales, y sumar sus áreas es la fórmula P·a/2. La fórmula solo abrevia el conteo.
π es una razón, no un número que se memoriza
Mide tres objetos redondos: contorno y diámetro. Divide. objeto contorno diámetro c/d lata 25.1 cm 8.0 cm 3.14 moneda 6.3 cm 2.0 cm 3.15 cubeta 94.0 cm 30.0 cm 3.13 Siempre da lo mismo: eso es π c / d = π → c = π·d = 2πr Círculo de radio 7 cm: Perímetro = 2π(7) = 43.98 cm Área = π(7)² = π(49) = 153.94 cm² ¿De dónde sale A = πr² ? Parte el círculo en muchos sectores y acomódalos alternados: ◣◤◣◤◣◤◣◤ queda casi un rectángulo de base = medio perímetro = πr y altura = r → A = πr · r = πr² Figura irregular (una L): rectángulo grande 10 × 6 = 60 recorte 4 × 3 = 12 área = 60 − 12 = 48 cm²
En una fraseπ no es un número que alguien inventó: es lo que da el contorno dividido entre el diámetro, en cualquier objeto redondo.
De la encuesta del salón a la gráfica circular
¿Cómo llegan a la escuela los 30 alumnos del grupo? medio alumnos fracción grados transporte 12 12/30 144° caminando 9 9/30 108° bicicleta 6 6/30 72° automóvil 3 3/30 36° ───────────────────────────────────────── total 30 30/30 360° ✓ Cómo se saca cada ángulo: 12/30 × 360° = 0.4 × 360° = 144° 9/30 × 360° = 0.3 × 360° = 108° Con el transportador, uno tras otro desde el mismo radio inicial. ______ / 36° \ ← automóvil / 72° \ ← bicicleta | · | \ 108° / ← caminando \ 144° / ← transporte ‾‾‾‾‾‾ La suma DEBE dar 360°. Si no da, hay un error: es tu propia comprobación.
En una fraseCada categoría se lleva su fracción de los 360°. Si los ángulos no suman 360, hay un error: es su propia comprobación.
El sueldo "promedio" que no gana nadie
Sueldos en una empresa de 9 personas (en miles de pesos): 8, 8, 8, 9, 10, 10, 11, 12, 90 Media aritmética suma = 166 media = 166 / 9 = 18.4 Mediana (dato de en medio) 8, 8, 8, 9, 10, 10, 11, 12, 90 ↑ 5° de 9 mediana = 10 Moda (el que más se repite) moda = 8 Rango 90 − 8 = 82 ¿Cuánto gana la gente de esta empresa? "18.4 mil" → cierto y engañoso: 8 de 9 ganan MENOS que eso "10 mil" → describe bien a la mayoría El rango de 82 es la señal de alarma: avisa que hay un dato muy lejos. Mediana con cantidad PAR de datos 4, 7, 9, 12 → hay dos de en medio (7 + 9) / 2 = 8 Frecuencia relativa el 8 aparece 3 veces de 9 datos 3/9 = 1/3 = 0.333... = 33.3%
En una fraseUn solo dato muy grande jala la media pero no mueve la mediana. Por eso a veces la mediana describe mejor al grupo.
Dos dados: por qué el 7 sale más que el 2
Se lanzan dos dados y se suman. ¿Todas las sumas son igual de probables? Casi todos dicen sí: "hay 11 sumas posibles, del 2 al 12". Hagamos la tabla. 1 2 3 4 5 6 ┌──────────────────────── 1 │ 2 3 4 5 6 7 2 │ 3 4 5 6 7 8 3 │ 4 5 6 7 8 9 4 │ 5 6 7 8 9 10 5 │ 6 7 8 9 10 11 6 │ 7 8 9 10 11 12 Casos totales: 6 × 6 = 36 suma 2 → 1 caso → 1/36 suma 7 → 6 casos → 6/36 = 1/6 suma 12 → 1 caso → 1/36 El 7 es SEIS veces más probable que el 2. Lo equiprobable son las 36 CASILLAS, no las 11 sumas. Conteo: principio multiplicativo 3 blusas × 4 faldas × 2 zapatos = 24 combinaciones distintas. blusa1 ─┬─ falda1 ─┬─ zapato1 │ └─ zapato2 ├─ falda2 ─ ... └─ ...
En una fraseLo que es igual de probable son las 36 casillas, no las 11 sumas. El 7 aparece en 6 casillas y el 2 en una sola.