Temario

Toda tu vida contaste 1, 2, 3… y el cero era «nada». Hoy cambia eso: el cero es el punto desde donde medimos, y cambia según lo que estés midiendo.

• 0 °C no es «sin temperatura»: es donde se congela el agua. Abajo hace más frío.
• Nivel del mar: abajo está el buzo.
• Saldo 0: abajo está la deuda.

Lo que queda de ese lado se escribe con un signo menos adelante: −5, −80, −2.

El simétrico de 7 es −7. El de −12 es 12. Lo único que cambia es el lado, nunca el tamaño.

Le vas a oír tres nombres para la misma cosa: simétrico, opuesto e inverso aditivo.

Se llama inverso aditivo porque un número más su simétrico siempre da cero. 7 + (−7) = 0.

El simétrico del cero es el cero. Es el único que es su propio simétrico.

Se escribe con dos barras: |−3|. Y pregunta una sola cosa: ¿cuántos pasos hay de aquí al cero?

De −3 al cero hay 3 pasos: |−3| = 3. De 8 al cero hay 8: |8| = 8. Y |0| = 0.

Son dos preguntas distintas: «¿dónde está?» lleva signo; «¿a qué distancia está?» nunca lo lleva. Una distancia negativa no existe.

Los tres pasos, y siempre son los mismos:

1. Resuelve lo que está adentro de las barras.
2. Quita el signo al resultado.
3. Haz lo que quedó afuera.

Debías 5 pesos y pediste 3 más. Ahora debes 8, no 2. Las deudas se juntan.

Con signos: −5 + (−3) = −8.

La regla: suma los dos números como si no tuvieran signo, y ponle al resultado el signo que traían los dos.

Ocho de un lado, tres del otro: −8 + 3. Los tres se cancelan con tres de los ocho y sobran 5 del lado negativo: −5.

La regla: resta los dos números sin fijarte en el signo, y ponle el signo del que estaba más lejos del cero.

Restar es sumar el opuesto: 5 − 8 es lo mismo que 5 + (−8).

Una fracción te dice dónde pararte. El de abajo dice en cuántos pedazos partir el tramo, y el de arriba cuántos contar.

Lo que más se falla: los pedazos tienen que medir todos igual. Si los partes al ojo, todo lo demás se cae.

Para comparar decimales, emparéjalos con ceros: 0.45, 0.50, 0.80. Ya parejos se leen como 45, 50 y 80.

Éste es el tema que peor salió, en las dos veces que se midió: 20% en el examen y 27% en el Maratón. Si solo vas a repasar uno, que sea éste.

3/4 quiere decir «3 repartido entre 4». El que entra a la casita es el 3, el de arriba.

Si haces 4 ÷ 3 estás repartiendo 4 cosas entre 3 personas: otro problema.

El procedimiento:

1. El de arriba entra a la casita, el de abajo se queda afuera.
2. Si el de arriba no alcanza, pones 0 y el punto, le agregas un cero y sigues.
3. Sigues agregando ceros hasta que se acabe.

Ayer había que dividir. Hoy no hay nada que dividir: hay que leer.

0.75 se lee «setenta y cinco centésimos», y eso ya es 75 entre 100.

Los tres pasos:

1. El nombre del último lugar es el de abajo: décimos → 10, centésimos → 100, milésimos → 1000.
2. Las cifras después del punto son el de arriba.
3. La acortas dividiendo arriba y abajo entre lo mismo.

Cuenta las cifras después del punto y ésos son los ceros. Una cifra, un cero. Dos cifras, dos ceros.

¿Qué número está entre 5 y 6? Casi todos contestan que ninguno — y tendrían razón si solo existieran los enteros. Pero está el 5.5. Y entre 5 y 5.5 está el 5.25. Y así para siempre.

El truco: súmalos, divide entre 2. Se llama el promedio.

Un cuarto más dos cuartos son tres cuartos: cuento las rebanadas y el de abajo no cambia, porque las rebanadas siguen siendo cuartos. Lo mismo al restar: de 34 quito 14 y quedan 24.

El problema llega cuando los de abajo son distintos: 12 + 14. Son dos rebanadas, pero de distinto tamaño, y no se pueden contar juntas. La solución: partir la mitad en dos. Ahora son 24, y 24 + 14 = 34.

Los tres pasos:

1. Mira abajo. Si los dos números de abajo son iguales, cuenta las de arriba y ya.
2. Parte. Si son distintos, busca un número en el que quepan los dos (para 2 y 3 sirve el 6; para 3 y 4, el 12; si no se te ocurre, multiplícalos). Parte cada pastel en ese número: lo que le haces abajo se lo haces arriba.
3. Cuenta. Ya con el mismo abajo, suma o resta las de arriba. El de abajo se queda.

Mover y agrupar (la conmutativa y la asociativa) valen con cualquier número: enteros, decimales, fracciones y negativos. Lo que estorba es que vengan revueltos. Por eso son dos pasos:

1. Mismo idioma. Pasa las fracciones a decimal (arriba entre abajo): 12 = 0.5, 14 = 0.25, 34 = 0.75, 15 = 0.2, 110 = 0.1, 310 = 0.3. Ya todos hablan igual.
2. Parejas fáciles. Mueve y agrupa para juntar primero a los que se cancelan (+4 y −4 dan 0), a los que dan redondo (0.75 + 0.25 = 1, 1.5 + 2.5 = 4) o a los negativos entre sí.

Y una regla de tránsito: el signo viaja pegado a su número. Si mueves el −0.5, se mueve con todo y su menos.

Las cuatro figuras se parecen, y por eso confunden. La diferencia está en dónde se acaban:

• Punto — es un lugar, no tiene largo. Se nombra con mayúscula: A, B, P. La bolita que dibujas es para verlo; el punto no tiene tamaño.
• Recta — no se acaba por ningún lado. Lleva dos flechas, que quieren decir «esto sigue».
• Semirrecta — empieza en un punto y por el otro lado no se acaba. Una flecha.
• Segmento — empieza y acaba. Ninguna flecha. Es el único que se puede medir.

Cómo se escriben: con las letras de dos de sus puntos y una rayita arriba que dibuja lo mismo que el dibujo: dos flechas (recta), una flecha (semirrecta), rayita pelona (segmento).

Y el ángulo: son dos semirrectas con el mismo origen. Lo que mide es la abertura, nunca el largo de los lados. Piensa en la puerta del salón: abierta poquito o abierta mucho es la misma puerta; lo que cambia es el ángulo.

La esquina de tu cuaderno mide 90°. Todo lo demás se compara con ella:

• Agudo — no llega a la esquina. Mide menos de 90°.
• Recto — es la esquina justa: 90°. Se marca con un cuadrito en el vértice; el cuadrito ya es la respuesta, no hay que medirlo.
• Obtuso — se pasa de la esquina. Mide más de 90° y menos de 180°.
• Llano — está abierto del todo: una línea recta, 180°. Sí es un ángulo: tiene vértice y dos lados.

El reloj los tiene todos: a las 3 las manecillas hacen un recto; a la 1, agudo; a las 4, obtuso; a las 6, llano.

Con un transportador, un popote, un hilo y un peso armaste un clinómetro: miras por el popote a la punta del edificio y el hilo te dice el ángulo.

Ojo con el hilo: mide desde la vertical, y tú necesitas el ángulo desde la horizontal. Por eso ángulo = 90 − lo que marca el hilo. Apuntando horizontal tiene que marcar 90.

Tu ojo, la base del edificio y su punta forman un triángulo rectángulo. Los dos lados que hacen la esquina de 90° son los catetos: el adyacente (el de al lado de tu ángulo: la distancia que caminaste) y el opuesto (el de enfrente: lo que sube). El tercero, el largo, es la hipotenusa, y no se puede medir.

Por qué la tangente: es la única de las tres relaciones (seno, coseno, tangente) que junta los dos catetos sin usar la hipotenusa. Como la hipotenusa no la tienes, la que sirve es la tangente.

x = tan(ángulo) × distancia  ·  altura = x + la altura de tus ojos

La tangente de cada ángulo se consulta en una tabla:

   tan(10°) = 0.18         tan(45°) = 1.00
   tan(20°) = 0.36         tan(50°) = 1.19
   tan(25°) = 0.47         tan(55°) = 1.43
   tan(30°) = 0.58         tan(60°) = 1.73
   tan(35°) = 0.70         tan(65°) = 2.14
   tan(40°) = 0.84         tan(70°) = 2.75

Si tu ángulo no está, usa el más cercano. Se lee «por cada metro de distancia, la mirada sube tanto».

Cruza dos rectas. Se forman cuatro ángulos. Los que quedan de enfrente (comparten el vértice y no comparten ningún lado) se llaman opuestos por el vértice, y miden lo mismo.

Por qué: dos ángulos de al lado forman juntos una línea recta, o sea 180°. Si uno mide 60°, el de al lado mide 180 − 60 = 120°. Y el que sigue vuelve a ser 180 − 120 = 60°. Por eso el de enfrente es igual al primero.

De paso salen dos nombres que vas a oír mucho:

• Suplementarios: dos ángulos que suman 180° (los de al lado en el cruce).
• Complementarios: dos ángulos que suman 90°.

Dibuja dos rectas paralelas y córtalas con una tercera (la transversal). Se forman ocho ángulos, pero solo hay dos medidas: una chica y una grande, repetidas cuatro veces cada una. Y las dos suman 180°.

Con eso resuelves cualquier ejercicio: encuentras una medida y ya tienes las ocho. Los nombres vienen después, para decir cuáles son iguales:

• Correspondientes: están en la misma posición en cada cruce (arriba-derecha y arriba-derecha). Iguales.
• Alternos internos: entre las paralelas, en lados opuestos de la transversal. Iguales.
• Alternos externos: fuera de las paralelas, en lados opuestos. Iguales.
• Internos consecutivos (colaterales): entre las paralelas, del mismo lado. Suman 180°.

El compás no es para dibujar círculos bonitos: es para copiar una distancia exacta. Con eso se construyen cosas que con la regla sola saldrían a ojo.

• Mediatriz y punto medio de un segmento AB. Abre el compás más de la mitad de AB. Haz un arco desde A y otro desde B, arriba y abajo. Une los dos cruces: esa recta es la mediatriz (perpendicular por la mitad) y donde corta a AB está el punto medio.
• Bisectriz de un ángulo. Con centro en el vértice, haz un arco que corte los dos lados. Desde cada corte, con la misma abertura, haz otro arco. Une el vértice con el cruce: esa semirrecta parte el ángulo en dos iguales.
• Perpendicular por un punto P de una recta. Con centro en P marca dos puntos en la recta a la misma distancia. Luego haz la mediatriz de esos dos puntos: pasa por P y es perpendicular.
• Paralela. Se traza una perpendicular a la recta, y luego una perpendicular a esa perpendicular: la última es paralela a la primera.
• Copiar un ángulo. Arco desde el vértice original y el mismo arco desde el vértice nuevo; con el compás copias la abertura entre los cortes.